Schwarz önsavı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur. Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir. Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir. Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur.^[1]

Karmaşık analizin diğer önemli sonuçlarına göre daha kolay bir kanıta sahip olmasına ve bunun yanında basit bir sonuç olmasına rağmen, Schwarz önsavı yine de karmaşık analizin merkezi bir kullanım aracı haline gelmiştir. Bunun nedeni ise, Riemann tasvir teoremi gibi önemli teoremlerin kanıtlanmasında ve yine karmaşık analizin geliştirilmesinde sıkça kullanılan bir sonuç olmasıdır.

Schwarz önsavı'nın ifadesi

${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}\ }$ karmaşık düzlemdeki birim daire olsun. ${\displaystyle f:D\to D}$ fonksiyonu da ${\displaystyle f(0)=0\,}$ koşulunu sağlayan holomorf bir fonksiyon olsun. O zaman, her ${\displaystyle z\in D}$ için

• ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$
• ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

eşitsizlikleri vardır.

Ayrıca, 0 'a eşit olmayan bir ${\displaystyle z\in D}$ için

• ${\displaystyle \ |f(z)|=|z|\,\ }$ eşitliği

veya

• ${\displaystyle |f'(0)|=1\,}$ eşitliği

varsa, o zaman f bir döndürme fonksiyonudur; yani, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için ${\displaystyle f(z)=az\,\ }$ olarak yazılabilir.

Kanıt

Kanıt aslında karmaşık analizdeki maksimum ilkesini

${\displaystyle g(z):={\frac {f(z)}{z}}\,}$

fonksiyonuna uygulamaktadır. ${\displaystyle f(0)=0\,}$ olduğu için paydadaki z değerinin g fonksiyonunun holomorfluğunu bozacak bir etkisi yoktur. Bunu daha kesin bir dille anlatmak için Riemann kaldırılabilir tekillik teoremi kullanılabilir. O yüzden, g de birim daire üzerinde holomorf bir fonksiyondur. r < 1 için

${\displaystyle D_{r}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r\}}$

kapalı dairelerine bakalım. g, ${\displaystyle D_{r}}$ 'lerin her birinde holomorf olduğu için, g 'ye maksimum ilkesini uygulayabiliriz. O zaman, ${\displaystyle D_{r}}$ 'deki her z 'den bağımsız olarak ${\displaystyle D_{r}}$'nin sınırı olan çemberin üzerinde bir ${\displaystyle z_{r}}$ sayısı vardır öyle ki her ${\displaystyle z\in D_{r}}$ için ${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|}$ eşitsizliği sağlanır. Daha açık bir şekilde yazarsak ve varsayımlarımızı da kullanırsak, o zaman

${\displaystyle |g(z)|={\frac {|f(z)|}{|z|}}\leq {\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}}$

elde ederiz. Ancak, burada aldığımız ${\displaystyle D_{r}}$ birim dairenin içinde kalan ve 0 merkezli olan keyfi bir daireydi. Son elde ettiğimiz eşitsizlikte her iki tarafın r 1'e soldan giderken limitini alırsak,

${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

elde ederiz ki bu da 0'dan farklı her z için ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ eşitsizliğini verir. Bu eşitsizlik, 0 noktasında f 0 değerini aldığı için zaten vardır. O halde, önsavın ifadesinde geçen ilk sonuç elde edilir.

İkinci sonucu elde etmek içinse, sırasıyla f 'nin 0 noktasındaki türevinin tanımını, g 'nin tanımını ve son olarak g için yukarıda elde edilen eşitsizliği kullanmak yeterli olacaktır:

${\displaystyle |f'(0)|=|\lim _{z\to 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z}}|=|\lim _{z\to 0}{\frac {f(z)}{z}}|=|\lim _{z\to 0}g(z)|=|g(0)|\leq 1.}$

Ayrıca, D 'de 0'dan farklı bir z₀ sayısı için |g(z₀)| = 1 eşitliği varsa, o zaman g 'ye yine maksimum ilkesini uygulayıp g 'nin bir sabit fonksiyon olduğunu elde ederiz. |g|, z₀ noktasında 1 değerini aldığı içinse, bu sabit fonksiyonun mutlak değerinin 1 olduğu sonucuna varırız. O zaman, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için ${\displaystyle g(z)=a\,\ }$ ve bu yüzden ${\displaystyle f(z)=az\,\ }$ eşitliği vardır. Yine, ${\displaystyle |f'(0)|=1\,}$ eşitliği varsa o zaman yukarıda f 'nin 0 noktasındaki türevi için yazdığımız ifadeden g 'nin 0'daki değerinin 1 olduğunu çıkarırız. İlk durumdaki tartışmanın aynısı yine istediğimiz sonucu verecektir.

Ayrıca bakınız

• Schwarz-Pick teoremi
• Schwarz–Ahlfors–Pick teoremi
• De Branges teoremi
• Koebe 1/4 teoremi

Notlar

1. JULIUS AND JULIA: MASTERING THE ART OF THE SCHWARZ LEMMA (02/03/2010 tarihinde erişilmiştir.)(İngilizce dilinde)