Tanjant demet

Gayrıresmi olarak, (bu bir daire içindeki durumdur) bir manifoldun tanjant demeti ,tüm teğet uzaylar (üst) göz önüne alınırsa, pürüzsüz ve örtüşmeyen bir şekilde (alt) birlikte onlara katılarak elde edilir.^{[note 1]}

Gayrıresmi olarak, (bu bir daire içindeki durumdur) bir manifoldun tanjant demeti ,tüm teğet uzaylar (üst) göz önüne alınırsa, pürüzsüz ve örtüşmeyen bir şekilde (alt) birlikte onlara katılarak elde edilir. Diferansiyel geometride,tanjant demet bir M differensiyellenebilir manifold'un ayrık birimidir^{[note 1]} Şöyleki,

${\displaystyle TM=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\vert \;y\in T_{x}M\right\}.}$

burada T_xM ,x noktasında M tanjant uzayına işaret eder.Böylece, TM in bir ögesi bir çift (x, v) olarak düşünülebilir, burada x da bir M tanjant vektörüne x ,M ve v içinde bir noktadır. Burada

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

doğal bir izdüşümdür Bu izdüşüm harita x tek noktasına her T_xM tanjant uzayı ,π(x, v) = x ile tanımlanır.

Bir manifolda tanjant demet bir vektör demetinin prototip örneğidir ( böyle bir lif demetinin lifleri vektör uzaylarıdır). TMnin bir bölümü M üzerinde bir vektör alanıdır , ve TM için çift demet kotanjant demettir, bu M in kotanjant uzaylarının ayrık birimidir. Tanıma göre, bir M manifoldu ancak ve ancak tanjant demet önemsiz ise paralellenebilirdir. Tanıma göre, bir M manifoldu çerçevelenmiş ancak ve ancak TM tanjant demet kararlı bir şekilde önemsizdir, bunun anlamı, bazı önemsiz demet E için Whitney toplamı TM ⊕ E önemsizdir. örneğin, n-boyutlu küre Sⁿ tüm n için çerçevelenmiştir, ama yalnızca n=1,3,7 için paralellenebilir (Bott-Milnor ve Kervaire'in sonuçları ile).

Rol

Tanjant demetin ana rolü bir düzgün fonksiyonun türevi için sınır ve bir domen sağlar. yani, eğer f : M → N bir düzgün fonksiyon, ile M ve N düzgün manifoldlar,ise bu bir türev dir ve Df : TM → TN bir düzgün fonksiyondur.

Örnekler

Rⁿ'in bu en basit örneğidir.Bu durumda, tanjant demet önemsizdir.

Diğe basit örnek birim çemberdir, S¹ (yukardaki resme bakınız). Çemberin tanjant demeti ayrıca önemsiz ve S¹ × R'ye izomorfiktir. Geometrik olarak, bu sonsuz küçük yüksekliğin bir silindiridir.

Yalnızca tanjant demet bir çırpıda görselleştirilebilir böylece R ve S¹ birim çemberin gerçek eksenidir ve her ikisi de önemsizdir.2-boyutlu manifoldlar için tanjant demet 4-boyutlu ve dolayısıyla gösterimi zordur.

Önemsiz olmayan bir tanjant demetinin basit bir örneği birim kürenin S² olmasıdır:Bu tanjant demet tüylü top teoremi'nin bir sonucu olarak önemsiz olmayandır Bu nedenle, küre paralelleştirilemez.

Yükseltmeler

Bu TM üzerinde nesneler içinde M üzerinde nesnelerin yükseltilmesinin çeşitli yollarıdır.Örneğin, eğer c ,M içinde bir eğri, ise c' (cnin tanjantı) TM içinde bir eğridir. Diyelimki bizim nokta M (bir Riemanniyen metrik diyebiliriz) üzerinde daha ileri bir varsayım dışındadır, burada kotanjant demet içinde benzer yükseltme yoktur.

Bir fonksiyon f : M → R in dikey yükseltmesi f^v : TM → R ye fonksiyondur ${\displaystyle f^{v}=f\circ \pi }$ ile tanımlanıyor, burada π : TM → M yerleşik izdüşümdür.

Ayrıca bakınız

• İleri itme(diferansiyel)
• Birim tanjant demet
• Kotanjant demeti
• Çerçeve demeti
• Müzikal izomorfizm

Notlar

1. ayrık birim M manifoldunun x₁ ve x₂ gibi herhangi iki noktası için garanti verir T₁ ve T₂ tanjant uzayları ortak vektörü yoktur. Bu S¹ çemberinin tanjant demeti için beraberi resim içerisinde grafiksel gösterimdir , bakınızÖrneklerbölümü: çemberin düzlemi içinde yatan bir çembere tüm tanjantlar. Onları ayrık yapmak için çemberin düzlemine dik bir düzlem içinde onları Min tangent uzaylarını hizalamak için gereklidir .

Kaynakça

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 107, Providence: American Mathematical Society  . ISBN 978-0-8218-4815-9
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
• M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Tangent bundle", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/t092110.htm 
• Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
• PlanetMath: Tangent Bundle