Terim testi

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testi^[1] bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ise veya limit yok ise, o zaman ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ıraksar.

Çoğu yazar bu teste isim vermez veya verirlerse de kısa bir isim verir.^[2]

Kullanımı

Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ise, o zaman ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir.^[3] Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}$

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:

• p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin ıraksak olduğunu söyler.
• 0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
• 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

Kanıtlar

Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ yakınsarsa, o zaman ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ olur.

Limit manipülasyonu

s_n serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s}$

anlamına gelir. O zaman^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0}$

olur.

Cauchy ölçütü

Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir: Her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir N sayısı vardır öyle ki

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p = 1 koymak ise tanımın ifadesini^[5], yani

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

ifadesini kurtarır.

Kapsam

Terim testinin en basit çeşidi gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.^[6]

Notlar

1. Kaczor sf.336
2. Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi demektedir.
3. Rudin sf.60
4. Brabenec sf.156; Stewart sf.709
5. Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır.
6. Hansen sf.55; Şuhubi sf.375

Kaynakça

• Brabenec, Robert (2005), Resources for the study of real analysis, MAA, ISBN 0-88385-737-5 
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific, ISBN 981-256-563-9 
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003), Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2050-8 
• Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of mathematical analysis (3 bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X 
• Stewart, James (1999), Calculus: Early transcendentals (4 bas.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-36298-2 
• Şuhubi, Erdoğan S. (2003), Functional Analysis, Springer, ISBN 1-4020-1616-6