Tersçapraz

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) A^T şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, A^tr or A^t). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

• A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak A^T elde edilir,
• A dizeyinin satırları A^T dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
• veya A dizeyinin sütünları A^T dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.

A^T dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:

$[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}$

Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise A^T dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.

Örnekler

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}.$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;$

Özellikler

A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. $( \mathbf{A}^\mathrm{T} ) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,$

   Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.

2. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

   Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

   Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. $\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,$

   Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.

6. İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

   bu çarpımda a_i bⁱ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.

7. $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$

   Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A^−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.