Mesafe

Mesafe (Uzaklık), iki noktanın birbirlerinden ne kadar ayrı olduklarının sayısal ifadesidir. Metrik ölçüm sisteminde uzaklık birimi metredir ve m sembolü ile gösterilir. Fizikte ya da gündelik kullanımda, bir fiziksel uzunluk ya da başka bir ölçüte dayalı tahmin (örneğin "iki durak sonra") anlamına gelir. Matematikte uzaklık fonksiyonu (ya da metrik), fiziksel uzaklık kavramının bir genelleştirmesidir. Bu fonksiyon özel kurallar kümesine uygun davranır ve uzaydaki öğelerin ne kadar "birbirlerine yakın" veya "birbirlerinden uzak" olduklarını açıklamanın somut bir yoludur. Çoğu durumda, "A'dan B'ye uzaklık" ile "B ve A arası uzaklık" ifadeleri birbirleri yerine kullanılabilir.

Matematik

Geometri

analitik geometri, xy-düzleminde iki nokta arası mesafenin formülü bulunabilir.(x₁, y₁) ve (x₂, y₂) mesafelerinin arası şöyle verilir:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,}$

Benzer iki nokta(x₁, y₁, z₁) ve (x₂, y₂, z₂) in üç-uzay, arası mesafe:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

Bu formül dik üçgenden kolayca elde edilebilir(düzlem'de 1. üçgen içerdiği diğer dik bacağı ile ) ve Pisagor teoremi'nin uygulaması hipotenüs . Karmaşık geometrilerin çalışmamızda,biz bunu(en sık görülen) uzunluk tipi Öklid mesafesi olarak adlandırabiliriz, Pisagor teoreminden elde edilir, Öklid dışı geometri ile örtüşmez.Bu mesafe formülü yay uzunluğu formülü olarak da genişletilebilir.

Öklidyen uzayda mesafe

Öklidyen uzay Rⁿ içinde,iki nokta arası verilen mesafe Öklidyen mesafedir. (2-norm mesafesi) bazen diğer tabanlarda mesafe yerine normlar kullanılabilir.

iki nokta için (x₁, x₂, ...,x_n) ve bir nokta (y₁, y₂, ...,y_n), p (p-norm mesafe)'nin yerine Minkowski mesafesi olarak tanımlanır:

1-norm mesafe(uzaklık)	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}$
2-norm mesafe	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}$
p-norm mesafe	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
sonsuz norm mesafe	${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
	${\displaystyle =\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).}$

p nin bir tamsayı olması gerekmez, ancak en az 1 olamaz, çünkü üçgen eşitsizliği ile örtüşmez.

2-norm mesafesi Öklidyen mesafesi'dir,iki koordinat'tan daha ötesi için bu Pisagor teoremi'nin bir genelleştirilimesidir . Bu iki nokta arasındaki mesafe bir cetvel ile ölçülme durumunda elde edilecek nedir:mesafenin fikri "sezgisel"dir.

1-norm uzunluk daha renklendirilmiş taxicab norm ile adlandırılır veya Manhattan mesafesi,kare blokların düzenlendiği bir araba ile bir şehirde(hiç tek yönlü sokaklar yoksa)yolcu götürmek istediğiniz mesafedir.

Sonsuz norm mesafesi Chebyshev mesafesi olarak adlandırılır. 2D'de,bir satranç tahtası'nda şah'ıniki kare arasında seyahatiçin en az sayıda taşınması gereklidir .

p-norm nadiren pnin başka değerleri için kullanılır 1, 2, ve sonsuz.. ama süper elips' bakılabilir.

Fiziksel uzayda the Öklid mesafesi en doğal yoldur,çünkü bu durum içinde bir rotasyon'u ile katı cisim yayı değişmez.