Çarpık koordinatlar

Bu koordinat sistemi çarpık koordinatlı bir sistemdir,ortogonal koordinatların aksine burada koordinat yüzeyleri ortogonal (dik) değildir,^[1] .

Ortogonal koordinatlara göre çarpık koordinatlar daha karmaşık olma eğilimindedir metrik tensör'den dolayı sıfır dışı köşegen-olmayan bileşenler var olacaktır,Tensör cebri ve tensör hesabı için formül içinde birçok ciddi sadeleştirmelerin önlenmesi sözkonusudur.Metrik tensörün sıfır dışı köşegen-olmayan bileşenleri tanımı gereği koordinatlarin taban vektörlerinde diklik olmamasının bir sonucudur :^[2]

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}$

Burada ${\displaystyle g_{ij}}$ metrik tensör ve ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ (esdegisken) taban vektördür.

Bir sorunun geometrisi bir çarpık sisteme iyi sığarsa, bu koordinat sistemleri yararlı olabilir. Örneğin, bir paralelkenar içinde Laplace denklemi çözümü uygun çarpık koordinatlarda yapıldığında kolay olacaktır.

Bir çarpık eksenli kartezyen koordinatlar

Bir kartezyen koordinat sistem burada the x eksenine doğru bükülmüş z ekseni olarak var.

Ekseni burada bir ${\displaystyle \phi }$ açısı ile bükülmüş olan bir çarpık koordinat sistemi en basit 3D durumunda bir kartezyendir (diyelimki x ekseni) , geri kalan iki eksen ortogonaldir. örneğin bir kartezyen koordinatın x ekseni ${\displaystyle \phi }$ tarafından z eksenine doğru bükülmüştür,y ekseni ortogonal kalıyor.

Cebir ve kullanılan değerler

sırasıyla ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, ve ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ birim vektörler ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ve ${\displaystyle z}$ ekseni boyuncadır..Buradaki gösterim eşdeğişken tabanlıdır; metrik tensör bileşenlerinin nokta çarpımları aşağıda hesaplanmıştır:

${\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=1\quad ;\quad g_{12}=g_{23}=0\quad ;\quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )}$

${\displaystyle {\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )}$

bu daha sonra yararlı olacak niceliktedir

^[2] ile karşıtdeğişken tabanda verilen

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}}$

Karşıtdeğişken taban kullanmak çok elverişli değil, ancak yinede tanımlara çok dikkat edilmesi gerektiği için gösterilmesinde sakınca yoktur. Bizim yazılarımız daha çok eşdeğişken tabanla ilgili yazma lehinde olacak.Baz vektörlerin tümü sabit olduğu için, vektör toplama ve çıkarma basitçe bilinen akıllı-bileşen ekleme ve çıkarma olacaktır.

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}$

( i = 1, 2, 3 durumları için) indislerin tüm değerleri üzerinden toplamın toplamlarının belirtmesi halinde eşdeğişken ve karşıtdeğişken bu vektörün bileşenleri

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}\,}$

ile ilişkilidir

böylece,açıkça

${\displaystyle a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos(\phi )^{2}}},\,}$

${\displaystyle a^{2}=a_{2},\,}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos(\phi )^{2}}}.\,}$

karşıtdeğişken bileşen terimleri içindeki nokta çarpım şudur.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1}).}$

Hesap

^[3] bir f skaler fonksiyonun gradyan

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}}$ ile tanımlanır.

burada ${\displaystyle q_{i}}$ x, y, z koordinatlarının indisleridir.Eşdeğişken taban terimleri için bir vektör yazıldığı kabul edilerek,belki yeniden yazılabilir

${\displaystyle \nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.}$

bir ${\displaystyle \mathbf {a} }$ vektörün diverjansı

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.}$

bir tensör ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ve

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.}$2

fin Laplasyen'i

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

ve eşdeğişken taban olarak normal ve sabit olduğundan,vektör Laplasyen eşdeğişken baz cinsinden yazılmış bir vektörün akıllı-bileşen Laplasyeni aynıdır.Eğer nokta çarpım ve gradyan ikilisinde biraz karışık (kartezyen sistemle karşılaştırıldığında) ek terimler varsa adveksiyon operatörü ile nokta çarpım çok basit bir gradyan döndürür,çıkışı:

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )=\left(\sum _{i}a^{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}\right)=\left(\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\right)}$

eşdeğişken bazında ifade sırasında akıllı bileşen, hem skaler işlevlere ve hem de vektör fonksiyonlara uygulanabilir Sonuç olarak bir vektörün, curl'u

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q^{i}}}=}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$

Kaynakça

1. Skew Coordinate System at Mathworld
2. Lebedev, Leonid P. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. s. 13. ISBN 981-238-360-3. 
3. Lebedev, Leonid P. (2003). Tensor Analysis. World Scientific. s. 63. ISBN 981-238-360-3.