Diferintegral

Uygulamalı matematikte bir alanda kesirli analizdir ,diferintegral bir diferansiyasyon/ integrasyon kombine işlemcisidir.Bir f fonksiyonuna uygulanan ƒ q-diferintegrali şöyle ifade edilir.

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

eğer q > 0 ise kesirli türev veya eğer q < 0 ise kesirli integral eğer q = 0 ise q-inci diferintegral fonksiyonun kendisidir.Burada birkaç diferintegralin resmi tanımı asagidadir.

Standard tanımlar

En yaygın üç form:

• Riemann–Liouville diferintegral

Bu kullanımı en basit ve en kolay olanlardandir ve kanıt olarak bu ensık kullanılır.Keyfi dereceli bir genelleme için Tekrarlanan entegrasyon Cauchy formülü:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

• Grunwald–Letnikov diferintegral:

Grunwald–Letnikov diferintegrali türevin tanımının bir doğrudan bir genellemesidir.Bu Riemann–Liouville diferintegralini kullanmaktan daha zordur ama bazen problemlerin çözümüne kullanılabilir bu Riemann–Liouville olmayabilir.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$

• Weyl diferintegral

Bu aynen Riemann–Liouville diferintegraline benzerdir, ama periyodik fonksiyonlara uygulamada periyot üzerindeki sıfır integraldir.

Tanımlar yoluyla dönüşümler

sürekli Fourier dönüşümü burada ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ile ifade edilir:

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$

Fourier dönüşümü kullanılıyor,Fourier uzayı içinde,bir çarpma içinde diferensiyasyon dönüşümleri :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$

Böylece,

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$

Bu genelleme ile

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

Laplace dönüşümü altında, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ile bir çarpımıyla diferansiyasyon dönüşümleri

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

keyfi dereceliye genelleme ve D^qf(t) için tek çözümü ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

Temel biçimsel özellikler

Doğrusallık kuralı

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$

Sıfır kuralı

${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f\,}$

Çarpım kuralı

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$

genel içinde, kompozisyon (veya yarıgrup) kuralı

${\displaystyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$

tatmin edici degildir. See Property 2.4 (page 75) in the book A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006).

Bazı Temel formüller

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$

Ayrıca bakınız

• Fraksiyonel-dereceli integratör

Kaynakça

• "An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations", by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor), John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9.
• "The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V)", by Keith B. Oldham, Jerome Spanier, Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0.
• "Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications", (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny, Academic Press (October 1998). ISBN 0-12-558840-2.
• "Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics", by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor), Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X.
• Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
• Fractional Derivatives for Physicists and Engineers by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
• "Physics of Fractal Operators", by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini, Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
• Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261–285,1998. DOI:10.1007/s002200050299 (available online or as the arXiv preprint)
• Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163–197, 2002. DOI:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Dış bağlantılar

• MathWorld – Fractional calculus
• MathWorld – Fractional derivative
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
• Specialized journal: Fractional Dynamic Systems (FDS)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
• http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• Podlubny, I., Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 5, no. 4, 2002, 367–386. (available as original article, or preprint at Arxiv.org)