Diyofantus denklemi

Diophantus denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diophantus'dan alan değişkenleri ve katsayıları tamsayılar olan denklemlerdir.^[1] Diophantus Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diophantus denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir.^[2]

Doğrusal Diophantus Denklemleri

Basit doğrusal diophantus denklemine örnekler aşağıdaki gibi verilebilinir;

• Örnek 1.1

${\displaystyle x+y=1}$

Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır (${\displaystyle y=1-x}$). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(X, 1 − X) şeklindedir her X ∈ Z için

• Örnek 1.2

${\displaystyle x+2y=1}$

Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor (${\displaystyle x=1-2y}$). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(1-2y, y) şeklindedir her y ∈ Z için

• Örnek 1.3

${\displaystyle 3x+6y=1}$

Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiçbir zaman 3'ün katı olamaz.

• Genel Doğrusal Diophantus denklemi

${\displaystyle ax+by=c}$
Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ tamsayı değişkenlerdir.

Diğer Örnekler

Pisagor Denklemi

Genel bir örnek Pisagor denklemidir (Bakınız; Pisagor teoremi )

• Örnek 2.1.1

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,}$
Burada ${\displaystyle x,y,z}$ tamsayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır.

Fermat Denklemi

(Bakınız; Fermat'nın son teoremi )

• Örnek 2.2.1

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\,}$ , n > 2
Bu eşitliğin ${\displaystyle x,y,z}$ tamsayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü yoktur.

Pell'in Denklemi

Bakınız Pell denklemi
Bu denklem adını 17. yüzyıl İngiliz Matematikçi John Pell'den alır.

• Örnek 2.3.1

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1\,}$, n>0 ve n tamsayısı tam kare değildir

Ayrıca bakınız

• Fermat'nın son teoremi
• Pell denklemi
• Pisagor teoremi
• Arithmetika
• Diophantus

Kaynakça

1. Quick, Martyn. "Linear Diaphantine" (İngilizce). University of St Andrews. 25 Kasım 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20111125062047/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~martyn/teaching/1003/1003linearDiophantine.pdf. Erişim tarihi: 30 Ekim 2012. 
2. Kirschenbaum, Marni. "Alexandrian Algebra according to Diophantus". Ruthgers. 21 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20150321024151/http://math.rutgers.edu:80/~cherlin/History/Papers2000/kirschm.html. Erişim tarihi: 28 Ekim 2012. 

Genel Kaynakça

• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html adresinden
• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://planetmath.org/encyclopedia/DiophantineEquation.html adresinden
• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://www.math.umass.edu/~gunnells/talks/abc.pdf adresinden