Hadamard üç çember teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hadamard üç çember teoremi veya sadece üç çember teoremi holomorf fonksiyonların çember üzerindeki maksimum değerleriyle ilgili bir sonuçtur.

Teoremin kesin ifadesi ise şöyledir:

${\displaystyle r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}}$ halkası üzerinde holomorf ${\displaystyle f}$ fonksiyonu alalım. ${\displaystyle |f(z)|}$ 'nin, ${\displaystyle |z|=r}$ çemberi üzerindeki maksimum değerini ${\displaystyle M(r)}$ ile gösterelim. O zaman, ${\displaystyle \log M(r)}$ fonksiyonu ${\displaystyle \log(r)}$ fonksiyonunun dışbükey fonksiyonudur ve ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ koşulunu sağlayan her ${\displaystyle r_{2}}$ gerçel sayısı için

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leqslant \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$

eşitsizliği vardır.

Teoremin geçmişi

Teoremin ifadesi ve kanıtı J. H. Littlewood tarafından 1912'de verilmiştir. Ancak, teoremin kime ait olduğunu belirtmemekle birlikte bilinen bir sonuç olduğunu da ifade etmiştir. Harald Bohr ve Edmund Landau, her ne kadar kendisi böyle bir kanıt yayınlamış olmasa da teoremin 1896'da Jacques Hadamard tarafından verildiğini iddia etmişlerdir.^[1]

Kanıt

Teoremin kanıtı herhangi bir a gerçel sayısı için log|z^af(z)| fonksiyonunun iki çember arasındaki bölgede f 'nin sıfır değerini aldığı noktalar dışındaki her yerde harmonik olduğu gerçeğinden hareket etmektedir. Bu özelliğinden dolayı maksimum ve minimumlar çemberler üzerinde oluşmaktadır. Geriye yapılması gereken iş ise, a sayısını uygun bir şekilde seçip bu harmonik fonksiyonun her iki çember üzerindeki maksimumlarının aynı olmasını sağlamaktır.

Ayrıca bakınız

• Maksimum ilkesi
• logaritmik dışbükey fonksiyon
• Hardy teoremi

Notlar

1. Edwards H. M. Riemann’s Zeta Function. — Dover Publications, 1974. — ISBN 0-486-41740-9 (Bölüm 9.3'e bakınız.).

Kaynakça

• Littlewood, J. E. (1912), "Quelques consequences de l'hypothese que la function ζ(s) de Riemann n'a pas de zeros dans le demi-plan Re(s) > 1/2.", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 154: 263–266 
• E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (14. üniteye bakınız)

Bu makale PlanetMath'deki Hadamard three-circle theorem maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.