Julia kümesi

İkinci derece polinomların Julia kümeleri için bir animasyon

Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi (en genel durumda tıkız Riemann yüzeyini ) kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

${\displaystyle f}$ fonksiyonunun Julia kümesi genellikle ${\displaystyle J(f)}$ ile, Fatau kümesi ${\displaystyle F(f)}$ ile ve doldurulmuş Julia kümesi ${\displaystyle K(f)}$ ile gösterilir. Bu kümeler, 20`nci yüzyılın başlarında Fransız matematikçiler Gaston Julia<sup>[1]</sup> ve Pierre Fatou<sup>[2]</sup> tarafından bulunmuşlardır. 20`nci yüzyılın sonlarında bilgisayar ve grafik biliminin keşfi ile, Julia kümelerinin kullanımları hızlanmıştır.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Yani, bu polinomların Julia kümelerini tarif eden bir nevi kombinatorik atlasdır. Çok değişkenli polinomların veya rasyonel fonksiyonların parametre uzayları daha karmaşık yapıdadır.

Tanım

${\displaystyle S}$, bir tıkız Riemann yüzeyi olsun. ${\displaystyle S}$ genellikle 2-boyutlu küre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ olarak seçilir. ${\displaystyle S}$ uzayı bir analitik çokkatlı olduğundan, üzerinde analitik yapı vardır. ${\displaystyle f\colon S\rightarrow S}$ sabit olmayan fonksiyonunun, bu analitik yapıya göre, çözümlenebilir olduğunu kabul edelim. ${\displaystyle f^{n}\colon S\rightarrow S}$ ile, ${\displaystyle f}$ nin kendisiyle ${\displaystyle n-}$kere birleşiminden oluşan fonksiyonu gösterelim. ${\displaystyle F(f)}$ kümesi, ${\displaystyle (f^{n})_{n}}$ ailesini normal aile yapan küme şeklinde tanımlanır.^[3] ${\displaystyle J(f)}$ kümesi ise ${\displaystyle S-F(f)}$ şeklinde tanımlanır.

Bu soyut tanımın anlamı şudur: Bir ${\displaystyle p\in F(f)}$ verildiğinde ${\displaystyle p\in U}$ olacak şekilde ${\displaystyle U}$ komşuluğu vardır. ${\displaystyle S}$ bir çokkatlı olduğundan, ${\displaystyle U}$ ya sınırlandırılmış analitik yapı vardır. ${\displaystyle U}$ komşuluğu ${\displaystyle f^{n}}$ fonksiyonlarının tanım kümesinin bir altkümesi ise, ${\displaystyle (f^{n})|_{U}\colon U\rightarrow S}$ analitik ailesi elde edilir. ${\displaystyle (f^{n})_{n}}$ nin bir normal aile olması demek, ${\displaystyle ((f^{n})|_{U})_{n}\subset Hol(U,S)}$ nin kapanışının tıkız olması demektir. Burada, ${\displaystyle Hol(U,S)}$ üzerinde iyi bilinen bir topoloji vardır. Mesela, ${\displaystyle S=\mathbb {S} }$ durumunda ${\displaystyle Hol(U,S)}$ Frechet uzayıdır. ${\displaystyle ((f^{n})|_{U})_{n}}$ nin kapanışı da tıkızlığı da bu topolojiye göredir. ${\displaystyle F(f)}$ kümesinin bir açık küme olması, her ${\displaystyle p}$ için böyle bir ${\displaystyle U}$ seçilebilmesindendir ve Fatou kümesinin tanımının direkt sonucudur. ${\displaystyle J(f)}$ nin kapalı olması ${\displaystyle J(f)=S-F(f)}$ eşitliğinden bulunur.

${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle J(f)}$ de kaotik davranış göstermesi, ${\displaystyle f^{n}}$ nin iterasyonlarının normal olmamasından dolayıdır. Bazı kaynaklar "kaotik davranışı" değişik şekilde tanımladıklarından, burada kullanıdığımız tanımı belirtmemiz gerekir: Kaotik davranış demek, başlangıç değerine duyarlı olmak demektir. Başka bir deyişle, ${\displaystyle f}$ kaotiktir demek, birbirine çok yakın iki nokta ${\displaystyle z_{0},z_{1}\in S}$ alındığında ${\displaystyle f\lim _{n\rightarrow \infty }f^{n}(z_{0})}$ ile ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f^{n}(z_{1})}$ lerin birbirlerinden çok uzak olması demektir.

Örnekler

• ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ formülüyle verilen ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ polinomunu ele alalım. Yukarıda verilen soyut tanımı kullanarak, ${\displaystyle f}$ nin Julia kümesinin ${\displaystyle 1-}$yarıçaplı çember olduğunu göstereceğiz. Bu çemberi ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ ile gösterelim. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ in "dışı" dediğimiz bölge, çember ile sonsuz arasında kalan bölgedir. Dış kısımdan bir ${\displaystyle p}$ noktası ve bu nokta civarında ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ ile kesişmeyen bir komşuluk alırsanız, bu komşuluğun ${\displaystyle f^{n}=f\circ \ldots \circ f}$ polinomu altında ki imajı ${\displaystyle n}$ arttıkça sonsuza yaklaşır. Başka bir deyişle, ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ in dış kısmında ${\displaystyle (f^{n})_{n}}$ ailesi sabit $\infty$ fonksiyonuna yakınsar, yani ${\displaystyle Hol(\mathbb {S} ^{1}-\mathbb {D} ,\mathbb {S} ^{1})}$ de kapanışı tıkızdır. Benzer şekilde, ${\displaystyle p}$ noktası çemberin iç bölgesinde ise, ${\displaystyle f^{n}}$ ler 0 a yakınsar. Geri kalan kısım, yani çemberin kendisi, Julia kümesini verir.
• Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Öncelikle, bu resimlerin bazılarının renkli bazılarının ise siyah-beyaz olduğunu gözlemleyiniz. Kombinatorik harita resminin bir Julia kümesi olmadığını, fakat tavşan fonksiyonunun Julia kümesinin bu harita kullanılarak açıklanabileceğini hemen belirtelim.

Resimlerdeki her renk, sayısal olarak ${\displaystyle f}$ ile ilgili bir nicelige denk gelir. Aynı renge sahip noktalar benzer özelliklere sahiptirler. Siyah-beyaz resimlerde, bu nicelikler belirtilmez ve siyah noktalarla Julia kümesinin noktaları beyaz renk ile de Fatou kümesinin noktaları işaretlenir. Renk kullanımına şöyle bir örnek verelim: ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ fonksiyonunu ele alalım. Çemberden seçilen neredeyse her noktanın, ${\displaystyle z^{2}}$ altındaki yörüngesi çember içinde yoğundur. Çemberin dış kısmından, yani ${\displaystyle |z|>1}$, bir nokta seçersek, yörüngesi sonsuza kaçar. Sonsuza kaçma hızı, değişik renklerle ifade edilir. Mesela, eğer nokta ilk 10 iterasyon sonunda yarıçapı 50 olan çemberin dışında kalıyorsa açık mavi renk, kalmıyorsa koyu mavi renk kullanılabilir. Renklerin nasıl kullanılacağını belirten genel bir kural yoktur.

• 
  f(z)=z^2-0.512511498387847167+0.521295573094847167i nin Julia kümesi
• 
  f(z)=z^2-0.156844471694257101941-0.649707745759247905171i nin Julia kümesi
• 
  f(z)=z^2-0.500934515513869749377-0.52287731735700945607i nin Julia kümesi
• 
  f(z)=z^2-1.125 + 0.21650635094611i nin Julia kümesi
• 
  Tavşan fonksiyonunun kombinatorik haritası, bir Julia kümesi değildir
• 
  f(z)=z^2-0.220858-0.650752 nin Julia kümesi
• 
  Bir Julia kümesi animasyonu

Yukarıda verilen resimlerde(her bir resim bir kümedir) çoğunlukla ikinci derece polinomlarının kullanılmasının nedeni hesaplarının ve teorilerinin kolay olmasındandır. Kaotik davranış, bilgisayar tarafından çizilen resimlerde büyük sapmalar olmasına neden olur.

Bilgisayar çizimleri her zaman hatalı olduklarından, konunun bilimsel yönden önemi, ${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle J(f)}$ deki dinamiğine topolojik ve kombinatorik olarak eşdeğer(konjuge) olan bir başka dinamik sistem bulup onu izah etmekten geçer.

Julia setine örnekler

• 
  f(z) = z² + 0.279
• 
  f(z) = z³ + 0.400
• 
  f(z) = z⁴ + 0.484
• 
  f(z) = z⁵ + 0.544
• 
  f(z) = z⁶ + 0.590
• 
  f(z) = z⁷ + 0.626
• 
  f(z) = exp(z) - 0.65
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.59
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.621
• 
  f(z) = z * exp(z) + 0.04
• 
  f(z) = z² * exp(z) + 0.21
• 
  f(z) = z³ * exp(z) + 0.33
• 
  f(z) = z⁴ * exp(Z) + 0.41
• 
  f(z) = Sqr[Sinh(z²)] + (0.065,0.122i)
• 
  f(z) = [(z²+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)

Diğer Tanımlar

• ${\displaystyle J(f)}$ kümesi, en az üç nokta içeren ve ${\displaystyle f}$ altında değişmez olan kapalı kümedir. Bu özellik, ${\displaystyle J(f)}$ yi biricik şekilde belirler.
• ${\displaystyle J(f)}$ kümesi, ${\displaystyle f}$ nin itici devirli noktalarının topolojik kapanışıdır.
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ nin en fazla iki noktası dışındaki bütün ${\displaystyle z}$ noktaları için, ${\displaystyle J(f)=\cup _{n}f^{-n}(z)}$ şeklinde tanımlanabilir.
• ${\displaystyle f}$, küre üzerinde analitik ise (mesela polinomlar), ${\displaystyle J(f)}$ kümesi, ${\displaystyle f}$ altında sonsuza yakınsayan noktalar kümesinin topolojik sınıdır.
• Polinomlar için, ${\displaystyle J(f)}$ kümesi ${\displaystyle K(f)}$ kümesinin topolojik sınırı şeklinde tanımlanabilir.

Temel Özellikler

• ${\displaystyle J(f)}$ ve ${\displaystyle F(f)}$ kümeleri ${\displaystyle f}$ altında tam-değişmez kümelerdir. Yani, ${\displaystyle f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f)}$ ve ${\displaystyle f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f)}$ eşitlikleri doğrudur.
• ${\displaystyle n>0}$ için ${\displaystyle J(f^{n})=J(f)}$ dir.
• ${\displaystyle f}$ derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, ${\displaystyle J(f)}$ boş olamaz. Fakat, ${\displaystyle J(f)=\mathbb {S} }$ olması mümkündür. Berkovich uzayında bu önermenin tam tersi doğrudur. Yani, ${\displaystyle J(f)}$ boş olabilir. Berkovich uzayı için, yukarıda verilen Julia kümesi tanımı kullanılamaz, çünkü bu uzay bir Riemann yüzeyi değildir. Detaylı bilgi için, ilgili makaleye bakınız.
• Keyfi ${\displaystyle z\in J(f)}$ seçilsin. ${\displaystyle z}$ nin ${\displaystyle f-}$yörüngesi, yani ${\displaystyle {f^{n}(z)\colon n\geq 1}}$ kümesi ${\displaystyle J(f)}$ de yoğundur.
• ${\displaystyle f}$ derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, Julia kümesinin topolojik içi ya boştur ya da Fatou kümesinin kendisi boştur. Berkovich uzayı durumunda, Fatou boş olamaz.

Mandelbrot Kümesi İle İlişkisi

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Çok dereceli polinomlar ve rasyonel fonksiyonların parametre uzayları, Mandelbrot kümesinin çok boyutlu versiyonlarını verirler. ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ polinomunu düşünelim. ${\displaystyle c}$ sayısı Mandelbrot kümesinin bir elemanı ise, ${\displaystyle J(f_{c})}$ kümesi topolojik bağlantılıdır. ${\displaystyle c}$ sayısı bir Misiurewicz noktası ise, Mandelbrot fraktalnın ${\displaystyle c}$ sayısına denk gelen noktasının civarı, ${\displaystyle J(f_{c})}$ fraktalına benzer.

Ölçü Teorisi İle İlişkisi

${\displaystyle f}$, küre üzerinde rasyonel olsun. Bu durumda, desteği ${\displaystyle J(f)}$ olan ve her ${\displaystyle U\subset J(f)}$ Borel kümesi için ${\displaystyle \mu (U)=\mu (f^{-1}(U))}$ koşulunu sağlayan biricik ${\displaystyle \mu }$ ölçüsü vardır. Bu ${\displaystyle \mu }$ ölçüsüne ${\displaystyle f}$ nin Lyubich ölçüsü^[4] denir. Bu ${\displaystyle \mu }$ ölçüsü, güçlü harmanlama özelliğine sahiptir, yani her ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in L_{2}(\mu )}$ için

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{J(f)}h_{1}(f^{n}(w))h_{2}(w)d\mu (w)=\int _{J(f)}h_{1}(w)d\mu (w)\int _{J(f)}h_{2}(w)d\mu (w)}$

eşitliği doğrudur.

Julia Kümelerinin Kullanım Alanları

• Anten teknolojisinde, fraktal şeklindeki antenleri modellemek için kullanılırlar.
• Modern sanatda sıklıkla kullanılırlar.
• Fraktal sıkıştırma algoritmaları sayesinde, dijital veri sıkıştırmak için kullanılabilirler.^[5]
• Bilgisayar oyunlarında, sanal arazi üretmek için kullanılırlar.

Kaynaklar

1. Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47–245.
2. Pierre Fatou (1917) "Sur les substitutions rationnelles," Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 164, pages 806-808 and vol. 165, pages 992–995.
3. John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (First appeared in 1990 as a Stony Brook IMS Preprint, available as arXiV:math.DS/9201272.)
4. M. Yu. Lyubich (1981) "The maximum-entropy measure of a rational endomorphism of the Riemann sphere ," Funkts. Anal. Prilozh.,, vol. 16:4 (1982), pages 78–79.
5. Fractal compression