Lineer kanonik dönüşümler

Hamiltonyen mekanikte, Doğrusal kanonik dönüşüm (LCT) genelleştirilmiş çok klasik dönüşümleri olan İntegral dönüşümlerinin bir ailesidir. Burada 4 parametre ve 1 kısıtlama var, böylece bu bir 3-boyutlu ailedir, ve zaman–frekans düzlemi(domen) üzerinde SL₂(R) özel doğrusal grup hareket olarak görselleştirilebilir .

LCT genelleştirilmesi Fourier, fraksiyonel Fourier, Laplace, Gauss–Weierstrass şeklindedir.Bargmann ve Fresnel ise özel durum dönüşümleridir."Doğrusal kanonik dönüşüm" adı altında kanonik dönüşümdendir, bir göndermede bu SL₂(R) olarak simplektik yapı korunur ,Sp₂ simplektik grup olarak yorumlanabilir , ve böylece LCT'ler simplektik formun korunması zaman–frekans domeninin doğrusal göndermeleridir.

Tanım

LCT birkaç yolu içinde gösterilebilir; en kolayı,^[1] Bu bir 2×2 matris olarak determinant 1 ile gösterilebilir,yani SL₂(R) özel doğrusal grupun bir ögesidir.Alınan bir matris ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right),}$ ile ad − bc = 1,integral dönüşüm ile karşılanabilir:

${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-i}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;dt\,,}$	eğer b ≠ 0,
${\displaystyle X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,}$	eğer b = 0.

Özel durumlar

Birçok klasik dönüşümler doğrusal kanonik dönüşümün özel durumları:

• Fourier dönüşümü 90° ile dönmeye karşılık gelir,matris ile gösterimi:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}$

• Fraksiyonel Fourier dönüşümü keyfi bir açı ile dönmeye karşılık gelir; bu SL₂(R)nin eliptik ögeleridir,matrisle gösterilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

• Fresnel dönüşümü kesmeye karşılık gelir, ve parabolik ögelerin ailesidir,matrisle gösterilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

burada z mesafe ve λ dalga boyudur.

• Laplace dönüşümü 90° karmaşık domen içinde dönmeye karşılık gelir, ve matris ile gösterilebilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.}$

• Fraksiyonel Laplace dönüşümü karmaşık domen içinde bir keyfi açı ile dönmeye karşılık gelir, ve matris ile gösterilebilir:^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Elektromanyetik dalga yayılması

Dalga seyahati x ve y nin x_i düzleminden, y_i düzlemine resim içinde olarak resmedilir gibi sistem göründüğünü varsayarsak.Fresnel dönüşümü havadaki elektromanyetik dalga yayılımını tanımlamak için kullanılır:

${\displaystyle U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]}U_{i}(x_{i},y_{i})\;dx_{i}\;dy_{i},}$

ile

k = 2 π / λ	: dalga no;
λ	: dalga boyu;
z	: yayılmanın mesafesi;
j	: sanal birim.

Bu LCT (kesme)ye eşit, ise

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

seyahat mesafesi (z) daha büyük olduğunda, kesme etkisi büyüktür.

Küresel lens

şekilde lens ile ve kırılma indisi n olarak gösterilmenin bir sonucudur:^[3]

${\displaystyle U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y)}$

f ile odak uzaklığı ve Δ lensin kalınlığı.

Lensten geçen bozulma, LCT benzer olduğunda

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.}$

Bu aynı zamanda bir makaslama etkisi: odak uzaklığı daha küçük olduğu zaman, kesme etkisi büyüktür.

Küresel Ayna

Küresel ayna—yani, bir çanak uydu —bir LCT olarak tanıtılabilir , şununla

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.}$

Odak uzaklığı çanağın yarıçapı değiştirilmesi haricinde bu lense çok benzer.Yarıçapı ne kadar küçük ise, bu nedenle, kesme etkisi büyüktür.

örnek

Biri yayıcı ve diğeri bir alıcı- ve bir mesafe D' den fazla aralarında hareket eden bir sinyali iki çanak: olarak sistem sağdaki resimde gösterilmiştir.ilk,çanak A (yayıcı) için,LCT matris bunun gibi görülür:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Sonra, çanak B (alıcı) için,olan benzer LCT matris:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Havada sinyalin yayılması için, LCT matrisi:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Her üç komponentlerin, sistemi LCT dir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.}$

Ayrıca bakınız

• Segal–Shale–Weil dağılımı, chirplet ile ilgili operatörlerin bir metaplektik grup dönüşümü

Diğer zaman–frekans dönüşümleri

• Fraksiyonael Fourier dönüşümü
• Sürekli Fourier dönüşümü
• Chirplet dönüşümü

Uygulamalar

• Kanonik dönüşümler üzerinde odak koruyan taban
• Işın transfer matris analizi

Notlar

1. de Bruijn, N. G. (1973). "A theory of generalized functions, with applications to Wigner distribution and Weyl correspondence", Nieuw Arch. Wiskd., III. Ser., 21 205-280.
2. P.R. Deshmukh & A.S. Gudadhe (2011) Convolution structure for two version of fractional Laplace transform. Journal of Science and Arts, 2(15):143-150.
3. Goodman, Joseph W. (2005), Introduction to Fourier optics (3rd bas.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4 , §5.1.3, pp. 100–102.

Kaynakça

• J.J. Ding, "Time–frequency analysis and wavelet transform course note", the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• K.B. Wolf, "Integral Transforms in Science and Engineering", Ch. 9&10, New York, Plenum Press, 1979.
• S.A. Collins, "Lens-system diffraction integral written in terms of matrix optics," J. Opt. Soc. Amer. 60, 1168–1177 (1970).
• M. Moshinsky and C. Quesne, "Linear canonical transformations and their unitary representations," J. Math. Phys. 12, 8, 1772–1783, (1971).
• B.M. Hennelly and J.T. Sheridan, "Fast Numerical Algorithm for the Linear Canonical Transform", J. Opt. Soc. Am. A 22, 5, 928–937 (2005).
• H.M. Ozaktas, A. Koç, I. Sari, and M.A. Kutay, "Efficient computation of quadratic-phase integrals in optics", Opt. Let. 31, 35–37, (2006).
• Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "New sampling formulae related to the linear canonical transform", Signal Processing '87', 983–990, (2007).
• A. Koç, H.M. Ozaktas, C. Candan, and M.A. Kutay, "Digital computation of linear canonical transforms", IEEE Trans. Signal Process., vol. 56, no. 6, 2383–2394, (2008).
• Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "On sampling of bandlimited signals associated with the linear canonical transform", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 56, no. 11, 5454–5464, (2008).
• Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Linear Canonical Transform and Its Applications ", Beijing, Science Press, 2013.