Elips

Elips, bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilir.

Geometride, elips (Yunanca ἔλλειψις elleipsis kelimesinden) bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.

Tanım

Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya (F₁, F₂) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. Şekildeki elipsin 2a asal, 2b ise yedek eksenidir. Aynı zamanda c² + b² = a²'dir. Şekilde de görüldüğü gibi b ve F₁ ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.

Denklemi

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Denklemi

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

olarak bulunur.

Merkezi (h,k) noktasında bulunan bir elipsin eşitliği de:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$

şeklinde verilebilir.

Parametresi

Şekilde p ile gösterilen uzunluğun iki katı yani b ye paralel odaktan geçen kirişin uzunluğu 2p´yi bulmak için şu denklemi kullanabiliriz:

${\displaystyle {\frac {2b^{2}}{a}}=2p}$

Herhangi Bir Noktadan Elipse Çizilen Teğetin Denklemi

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$ denklemli bir elipsin herhangi bir P(m;n) noktasıdan geçen teğetin denklemi ${\displaystyle {\frac {(n-k).y}{b^{2}}}=1}$´dir.

Üzerindeki Herhangi Bir Noktanın Elipsin Merkezine Uzaklığı

Elipsin merkezinden elips üzerindeki bir noktaya çizilen ve X ekseniyle arasındaki açı α olan bir doğrunun uzunluğu ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{b^{2}+(a^{2}-b^{2})\cdot \sin {\boldsymbol {\alpha }}}}}}$ veya ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot \cos {\boldsymbol {\alpha }}}}}}$ formülü ile hesaplanır.

Basıklığı

Asal eksen uzunluğuyla yedek eksen uzunluğunun farkının asal eksen uzunluğuna oranına elipsin basıklığı denir.

${\displaystyle {\frac {2a-2b}{2a}}={\frac {2(a-b)}{2a}}}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}}$

Dış merkezliği

Elipste, odaklar arasındaki uzaklığın asal eksen uzunluğuna oranına elipsin dış merkezliği (eccentricity) denir ve e ile gösterilir:

${\displaystyle {\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}}$ ${\displaystyle {\frac {}{}}=e}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel şekillerin listesi