Riemann integrali

Bir eğri altında kalan alan cinsinden integral

Matematiğin gerçel çözümleme olarak bilinen alanında Riemann integrali bir aralıkta tanımlı işlevlerin integralini hesaplamaya yönelik ilk kesin tanımdır. Adını Bernhard Riemann'dan alan kavram her ne kadar kuramsal amaçlar için kullanışlı değilse de çok kolay bir biçimde tanımlanabilmektedir.

Genel bakış

${\displaystyle f}$, ${\displaystyle [a,b]}$ aralığında bir gerçel değerli işlev ve ${\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}$, ${\displaystyle f}$ işlevinin altında ve ${\displaystyle [a,b]}$ aralığının üstünde kalan düzlemin alanı olmak koşuluyla

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ifadesi bu alanı tanımlamak için kullanılır.

Riemann integrali ${\displaystyle S}$'yi hesaplarken çok basit yaklaştırmaları göz önüne almaktadır. Bu yaklaştırmalar geliştirilerek "limitte" eğrinin altında kalan ${\displaystyle S}$ alanı tam olarak hesaplanabilmektedir.

${\displaystyle f}$ pozitif ve negatif değerler alabilmesine karşın integral, ${\displaystyle f}$'nin altında kalan alanı belirtmektedir. Bu alan, ${\displaystyle x}$-ekseni üstündeki alanla ${\displaystyle x}$-ekseni altında kalan alanın farkına eşittir.

Riemann integrali

Riemann integrali, işlevi oluşturan parçalar giderek daraldığından Riemann toplamlarının limitine eşittir. Bu limit tanımlıysa işlev integrali alınabilirdir.

Ayrıca bakınız

• İlkel fonksiyon
• Riemann–Stieltjes integrali
• Henstock–Kurzweil integrali
• Lebesgue integrali
• Darboux integrali

Kaynakça

• Shilov, G. E. & Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8