Fonksiyon

Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için maddenin tartışma sayfasına lütfen bakınız. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Fonksiyon (Fransızca ya da fonksiyon) matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Bir işlem türüdür. Dört işlemden sonra gelir.

Matematiksel tanım

Fonksiyonun matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:

${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ iki küme olsun. ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle A\times B}$ kartezyen çarpımının şu özelliği sağlayan bir altkümesi olsun:

Her ${\displaystyle x\in A}$ için, ${\displaystyle (x,\,y)\in F}$ ilişkisini sağlayan

bir ve bir tane ${\displaystyle y\in B}$ elemanı vardır.

Bu durumda ${\displaystyle (A,\,B,\,F)}$ üçlüsüne fonksiyon adı verilir. İki tanım daha: ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle (A,\,B,\,F)}$ fonksiyonunun tanım kümesidir, ${\displaystyle B}$ ise varış kümesidir.

${\displaystyle (A,\,B,\,F)}$ fonksiyonuna ${\displaystyle f}$ adını verirsek, verilen bir ${\displaystyle x\in A}$ için ${\displaystyle B}$'nin ${\displaystyle (x,y)\in F}$ ilişkisini sağlayan yegane ${\displaystyle y}$ elemanı ${\displaystyle f(x)}$ olarak gösterilir. Kimi zaman ${\displaystyle f(x)}$ yerine ${\displaystyle fx}$ yazıldığı da olur. Demek ki, her ${\displaystyle x\in X}$ için ${\displaystyle (x,fx)\in F}$ olur. Ayrıca ${\displaystyle F}$ kümesine ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun grafiği adı verilir.

Fonksiyonu matematiksel olarak tanımlamak için "kural"dan söz etmediğimize dikkatinizi çekeriz. Ama ${\displaystyle F}$'nin bir küme olması gerekliliği matematikçiler açısından can alıcı noktadır.

Eğer ${\displaystyle A=\emptyset }$ ise ${\displaystyle (A,\,B,\,F)}$ üçlüsünün bir fonksiyon olması için ${\displaystyle F}$'nin boşküme olması gerektiği açıktır, işte bu ${\displaystyle (\emptyset ,\,B,\,\emptyset )}$ üçlüsü boş fonksiyondur. Çizgileri düşey doğruları hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için f (x) fonksiyonu dur

Örnekler

${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ iki küme olsun. ${\displaystyle A}$'nın her elemanını bir şekilde ${\displaystyle B}$'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiş olsun. (Koyu renkle yazılmış kelimeler önemlidir; ilerde bunların üstünde durulacaktır.) Mesela ${\displaystyle A=\mathbb {R} }$ (gerçel sayılar kümesi), ${\displaystyle B}$ de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani ${\displaystyle B=(-3,\infty )}$ olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı: ${\displaystyle A}$'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon ${\displaystyle f}$ sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ yazılır.

${\displaystyle A}$ yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. ${\displaystyle f}$ fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle A}$'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden ${\displaystyle A}$ kümesine giden bir fonksiyondur.

${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, ${\displaystyle A}$ kümesinin her elemanını ${\displaystyle B}$'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)

Özet olarak, verilmiş bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, ${\displaystyle A}$'nın her elemanını bir şekilde ${\displaystyle B}$'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.

Yukardaki örnekte, kural, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:

Yukarda ${\displaystyle A=}$ R ve ${\displaystyle B=(-3,\infty )}$ almış ve fonksiyonu ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi ${\displaystyle A}$ yerine ${\displaystyle A_{1}=(-5,\infty )}$ alırsak ve formülü ve ${\displaystyle B}$ kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen ${\displaystyle A_{1}\longrightarrow B}$ fonksiyonunu gene ${\displaystyle f}$ ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. ${\displaystyle A_{1}}$'den ${\displaystyle B}$'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela ${\displaystyle g}$ ile gösterilebilir.

Bunun gibi, ${\displaystyle B}$ kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela ${\displaystyle B_{1}=[0,\infty )}$ ise, kare alma kuralı ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B_{1}}$'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye, ${\displaystyle f}$ ya da ${\displaystyle g}$ ile değil, bir başka sembolle, mesela ${\displaystyle h}$ ile gösterilir.

Aynı şekilde ${\displaystyle A_{1}}$'den ${\displaystyle B_{1}}$'e giden bir fonksiyon, ${\displaystyle f,\,g}$ ya da ${\displaystyle h}$ ile değil, mesela ${\displaystyle k}$ ile gösterilmelidir.

Yukarda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, ${\displaystyle A}$ kümesinin her elemanını ${\displaystyle B}$'nin bir elemanına götürür, yani ${\displaystyle A}$'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {R} }$'den ${\displaystyle \mathbb {R} }$'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da ${\displaystyle A=B=\mathbb {N} }$ (doğal sayılar kümesi) ise, ${\displaystyle f(x)=x-1}$ kuralı, ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü ${\displaystyle f(0)=-1}$'dir ve ${\displaystyle 0\in A}$ olmasına karşın ${\displaystyle -1}$ sayısı ${\displaystyle B}$'de değildir. Öte yandan bu ${\displaystyle f(x)=x-1}$ kuralı, ${\displaystyle \mathbb {N} }$'den tamsayılar kümesi $\mathbb{Z}$'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, ${\displaystyle A}$'nın her elemanını ${\displaystyle B}$'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani ${\displaystyle A}$'nın aynı elemanı ${\displaystyle B}$'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela ${\displaystyle A=B=\mathbb {R} }$ ise, ${\displaystyle A}$'nin bir ${\displaystyle x}$ elemanını ${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$ denkleminin ${\displaystyle y}$ çözümlerine götüremez, çünkü eğer ${\displaystyle x=0}$ değilse, bu denklemin R'de iki değişik ${\displaystyle y}$ çözümü vardır, nitekim ${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$ denkleminin çözümleri ${\displaystyle y=x}$ ve ${\displaystyle y=-x}$'tir. Burada, ${\displaystyle x}$'in ${\displaystyle x}$'e mi yoksa ${\displaystyle -x}$'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonunda, ${\displaystyle A}$'nın her elemanını ${\displaystyle B}$'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Kalkış ve varış kümeleri

Bir ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonunda, ${\displaystyle A}$'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. ${\displaystyle B}$'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Görüntü

Eğer ${\displaystyle x\in A}$ ise ${\displaystyle f(x)}$'e ${\displaystyle x}$'in ${\displaystyle f}$ altında görüntüsü adı verilir. ${\displaystyle B}$'nin

${\displaystyle \{f(x):x\in A\}}$

altkümesi ${\displaystyle f(A)}$ olarak gösterilir ve bu kümeye ${\displaystyle f}$'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi ${\displaystyle f(A)}$ yerine ${\displaystyle B}$'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)

Mesela ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle f:}$ (-3,5) ${\displaystyle \longrightarrow }$ R fonksiyonunun görüntü kümesi ${\displaystyle [0,25)}$ aralıkıdır.

Fonksiyon eşitliği

${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her ${\displaystyle x}$ için ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

Durağan (sabit) fonksiyonlar

${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ iki küme olsun ve ${\displaystyle b\in B}$ olsun. ${\displaystyle A}$'nın her elemanını ${\displaystyle B}$'nin bu $b$ elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. $b$ değerini alan sabit fonksiyonu ${\displaystyle c_{b}}$ olarak gösterirsek, o zaman ${\displaystyle c_{b}<zvxcvcxvcxvcxvcvxcbcv:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, her ${\displaystyle x\in A}$ için ${\displaystyle c_{b}(x)=b}$ kuralıyla tanımlanır. Not: ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, ${\displaystyle c_{b}}$ yerine ${\displaystyle c_{b,A,B}}$ yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit $b$ fonksiyonu" adı verilir.

Bileşke mümkün olduğunda ${\displaystyle c_{b}\circ f=c_{b}}$'dir. Ama ${\displaystyle f\circ c_{b}=c_{f(c)}}$'dir.

Eğer ${\displaystyle A}$ ya da ${\displaystyle B}$'nin tek bir elemanı varsa, o zaman ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Eğlencelik

Eğer ${\displaystyle A\neq \emptyset }$ ve ${\displaystyle B=\emptyset }$ ise, ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden bir fonksiyon yoktur.

Eğer ${\displaystyle A=\emptyset }$ ise, ${\displaystyle B}$ hangi küme olursa olsun, ${\displaystyle A}$'dan ${\displaystyle B}$'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Özdeşlik fonksiyonu

Eğer ${\displaystyle A}$ bir kümeyse, her ${\displaystyle x\in A}$ için Id${\displaystyle _{A}(x)=x}$ kuralıyla tanımlanan Id${\displaystyle _{A}:A\longrightarrow A}$ fonksiyonuna ${\displaystyle A}$'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Bir fonksiyonun kısıtlanışı

Eğer ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ bir fonksiyonsa ve ${\displaystyle A_{1}\subseteq A}$, ${\displaystyle A}$'nın bir altkümesiyse, o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonunu ${\displaystyle A_{1}}$ altkümesine kısıtlayabiliriz, yani ${\displaystyle f}$'nin sadece ${\displaystyle A_{1}}$ kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon

${\displaystyle f_{|A_{1}}:A_{1}\longrightarrow B}$

olarak yazılır ve bu fonksiyona ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle A_{1}}$'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer ${\displaystyle A_{2}\subseteq A_{1}\subseteq A}$ ise ${\displaystyle (f_{|A_{1}})_{|A_{2}}=f_{|A_{2}}}$ eşitliği geçerlidir.

Varış kümesini değiştirmek

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir: ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ bir fonksiyon olsun. ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle f}$'nin görüntü kümesi ${\displaystyle f(A)}$'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman ${\displaystyle A}$ tanım kümesini ve ${\displaystyle f}$ kuralını değiştirmeden yeni bir ${\displaystyle g:A\longrightarrow B_{1}}$ fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.

Fonksiyonların yapıştırılması ya da birleşimi

${\displaystyle f:A\longrightarrow V}$ ve ${\displaystyle g:B\longrightarrow V}$ iki fonksiyon olsun. ${\displaystyle A}$ üzerinde ${\displaystyle f}$ olan, ${\displaystyle B}$ üzerinde ${\displaystyle g}$ olan ve ${\displaystyle A\cup B}$'den ${\displaystyle V}$'ye giden bir ${\displaystyle f\cup g}$ fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer ${\displaystyle x\in A\setminus B}$ ise hiç kuşku yok ki ${\displaystyle (f\cup g)(x)=f(x)}$ olmalı. Eğer ${\displaystyle x\in B\setminus A}$ ise gene hiç kuşku yok ki ${\displaystyle (f\cup g)(x)=g(x)}$ olmalı. Ama ${\displaystyle x\in A\cap B}$ olduğunda, ${\displaystyle (f\cup g)(x)}$ için ${\displaystyle f(x)}$ ya da ${\displaystyle g(x)}$ arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer ${\displaystyle f(x)\neq g(x)}$ ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her ${\displaystyle x\in A\cap B}$ için ${\displaystyle f(x)=g(x)}$, yani ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonları ${\displaystyle A\cap B}$ kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle ${\displaystyle f_{|A\cap B}=g_{|A\cap B}}$. O zaman ${\displaystyle f\cup g:A\cup B\longrightarrow V}$ fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:

${\displaystyle (f\cup g)(x)=f(x)}$ eğer ${\displaystyle x\in A}$ ise

${\displaystyle (f\cup g)(x)=g(x)}$ eğer ${\displaystyle x\in B}$ ise.

Bu fonksiyona ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarda gösterildiği gibi bu fonksiyon ${\displaystyle f\cup g}$ olarak yazılır.

Mesela ${\displaystyle f:[0,\infty )\longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu ${\displaystyle f(x)=x}$ olarak tanımlanmışsa ve ${\displaystyle g:(\infty ,0]\longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu ${\displaystyle g(x)=-x}$ olarak tanımlanmışsa, o zaman ${\displaystyle f\cup g:A\cup B\longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: ${\displaystyle (f\cup g)(x)=|x|}$.

Elbette ${\displaystyle (f\cup g)_{|A}=f}$ ve ${\displaystyle (f\cup g)_{|B}=g}$.

Gene doğal olarak ${\displaystyle f\cup g}$ diye bir fonksiyon varsa ${\displaystyle g\cup f}$ diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.

Yukardaki yapıştırmayı yapabilmemiz için ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer ${\displaystyle f:A\longrightarrow U}$ ve ${\displaystyle g:B\longrightarrow V}$ iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların ${\displaystyle A\cap B}$ kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman ${\displaystyle A}$ üzerinde ${\displaystyle f}$ olan, ${\displaystyle B}$ üzerinde ${\displaystyle g}$ olan bir ${\displaystyle f\cup g:A\cup B\longrightarrow U\cup V}$ fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa: ${\displaystyle (f_{i}:A_{i}\longrightarrow V_{i})_{i\in I}}$ bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her ${\displaystyle i,\,j\in I}$ göstergeçleri (endisleri) için ${\displaystyle f_{i}}$ ve ${\displaystyle f_{j}}$ fonksiyonlarının ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}}$ kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her ${\displaystyle i\in I}$ ve her ${\displaystyle x\in A_{i}}$ için ${\displaystyle (\cup _{i\in I}f_{i})(x)=f_{i}(x)}$ eşitliğini sağlayan bir ${\displaystyle \cup _{i\in I}f_{i}\longrightarrow \cup _{i\in I}V_{i}}$ fonksiyonu,

"eğer ${\displaystyle x\in X_{i}}$ ise ${\displaystyle (\cup _{i\in I}f_{i})(x)=f_{i}(x)}$"

kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.

Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon. ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ bir fonksiyon olsun. ${\displaystyle A}$'nın her ${\displaystyle X}$ altkümesi için, ${\displaystyle B}$'nin ${\displaystyle f(X)}$ altkümesi şöyle tanımlanır:

${\displaystyle f(X)=\{f(x):x\in X\}}$.

Bu ${\displaystyle f(X)}$ yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü ${\displaystyle A}$'nın ${\displaystyle X}$ altkümesi bal gibi de aynı zamanda ${\displaystyle A}$'nın bir elemanı olabilir, o zaman ${\displaystyle f(X)}$ ifadesinin ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonunun ${\displaystyle X}$'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukardaki gibi ${\displaystyle B}$'nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela, ${\displaystyle A=\{0,\{0\}\}}$ olsun. ${\displaystyle B=\{5,6\}}$ olsun. ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ fonksiyonu, ${\displaystyle f(0)=5}$, ${\displaystyle f(\{0\})=6}$ olarak tanımlansın. Ve son olarak ${\displaystyle X=\{0\}}$ olsun. ${\displaystyle X}$, hem ${\displaystyle A}$'nın bir elemanı hem de bir altkümesidir. ${\displaystyle X}$ eleman olarak görüldüğünde ${\displaystyle f(X)=6}$ olur ama altküme olarak görüldüğünde ${\displaystyle f(X)=\{5\}}$ olur. Belki bu yüzden

${\displaystyle f(X)=\{f(x):x\in X\}}$

tanımı yerine,

${\displaystyle {\tilde {f}}(X)=\{f(x):x\in X\}}$

tanımını yapmak daha yerinde olur.

Eğer ${\displaystyle P(X)}$, ${\displaystyle X}$'in altkümeleri kümesiyse, yukardaki ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ kuralı, ${\displaystyle P(X)}$'ten ${\displaystyle P(Y)}$'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.

Alakalı maddeler

• Bileşke fonksiyon
• Birebir fonksiyon
• Eşleme
• Eşleşme
• Örten fonksiyon
• Seçim fonksiyonu

X kümesindeki her eleman (bir giriş) , Y kümesindeki bir elemanla mutlaka eşlenmelidir. (bir çıkış)

Bu gösterim bir fonksiyon (fonksiyon) değildir. (Bir girişe iki çıkış vardır.)

Örnek bir fonksiyon (fonksiyon) grafiği
${\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}$

Gönderme örnekleri

• Doğal sayılarda bir sayının ardılı bir göndermedir.

${\displaystyle g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\ A(x)=x+1}$

• İki değişkenli göndermeler de vardır.

${\displaystyle h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x,y)=x^{2}-y^{2}}$

• Verilen sıraya karşılık gelen çift sayıyı söyleyen bağıntı bir göndermedir: f(n)=2n.
• Bir küme üzerinde tanımlı bir ikili işlem, göndermedir: f(x,y)=x+y.
• Diziler birer göndermedir.

${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ için ${\displaystyle f(x,y)=x+\mathbf {i} y}$ yani ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

Tanım

A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir. ${\displaystyle F\subseteq A\times B}$ ${\displaystyle \forall a,b,c~((a,b)\in F\wedge (a,c)\in F)\Rightarrow (b=c)}$

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir: ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ göndermesi için, ${\displaystyle f=\{(x,y)|\forall x\in A\wedge \exists !y\in B\}}$

buradaki ${\displaystyle \exists !}$ sembolü y nin biricik olduğunu ifade eder.

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.

${\displaystyle {\text{mutlak}}(x)={\begin{cases}-x&x<0\\~x&x\geq 0\\\end{cases}}}$

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Mesela Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir.

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}n&0\leq n\leq 1\\f(n-1)+f(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

Boylece ${\displaystyle \mathbb {N} }$'den ${\displaystyle \mathbb {N} }$'ye giden bir ${\displaystyle n\mapsto f_{n}}$ fonksiyonu tanımlanır.

Göndermelerin kümesel özellikleri

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ şeklinde tanımlı bir gönderme,

• Birebir ise, A kümesinde tanımlı olduğu her değeri B kümesinden ayrı bir ögeye eşler. Matematiksel olarak; her x1, x2 €A için f(x1)=f(x2) => x1=x2
• İçine ise B kümesinde, eşlenmemiş en az bir değer vardır.
• Örten ise A kümesindeki bütün ögeler için tanımlıdır.

Matematiksel olarak; her y € B için en az bir x€A vardır öyleki; f(x)=y'dir.

Bilgisayar bilimi ve göndermeler

Bilgisayarda göndermelere Türkçede genellikle fonksiyon adı verilir.

• Bilgisayar biliminde hesaplanabilir fonksiyonlar, birbirine eşdeğer olan Church ve Turing Tezleri ile incelenir.
• Girdisi ve çıktısı mantıksal (ikili ya da Boolean) olan fonksiyonlar, BDD'ler yardımıyla gösterilebilir.

Kaynaklar

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi