Bileşke fonksiyon

Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için maddenin tartışma sayfasına lütfen bakınız. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

${\displaystyle f}$, ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Y}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle Y}$ kümesinden ${\displaystyle Z}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman ${\displaystyle g\circ f}$ fonksiyonunu her ${\displaystyle x\in X}$ için,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Z}$ kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona ${\displaystyle g}$ ve ${\displaystyle f}$ fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$

fonksiyonlarından

${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}$

fonksiyonunu üretir.

${\displaystyle g}$ ve ${\displaystyle f}$ fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun değer kümesi, ${\displaystyle g}$ fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle X}$ kümesinden ${\displaystyle Y}$ kümesine, ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle Y}$ kümesinden ${\displaystyle X}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem ${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow X}$ fonksiyonundan hem de ${\displaystyle f\circ g:Y\longrightarrow Y}$ fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle X}$'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk${\displaystyle (X,\;X)}$ kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id${\displaystyle _{X}}$, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk${\displaystyle (X,\;X)}$ kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri

${\displaystyle X=Y=Z=R}$ (gerçek sayılar kümesi) olsun. ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonu ${\displaystyle g(x)=x+1}$ olarak tanımlansın. O zaman,

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}}$

dir. Ancak

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}$

dir. Demek ki

${\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}$,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

${\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T}$ dört küme olsun.

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$,

${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$,

${\displaystyle h:Z\longrightarrow T}$

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

${\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}$,

${\displaystyle h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T}$,

${\displaystyle h\circ g:Y\longrightarrow T}$,

${\displaystyle (h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T}$.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$

eşitliği geçerlidir. ${\displaystyle X}$ kümesinden herhangi bir ${\displaystyle x}$ elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu ${\displaystyle x}$ elemanında değerlendirilirse

${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}$

ve

${\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}$

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)}$.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$ eşitliği çıkar.