Tam fonksiyon

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz (devam ettirilemez).

Liouville teoremi tam fonksiyonlar için önemli bir özelliği ifade eder — sınırlı her tam fonksiyon sabittir. Sonuç olarak, Riemann küresinin (karmaşık düzlem ve sonsuzdaki karmaşık nokta) tümünde tam olan (karmaşık değerli) bir fonksiyon sabittir. Bu yüzden, tam bir fonksiyonun sonsuz noktasında bir tekilliği vardır. Bu tekillik ya kutup noktasıdır ya da esaslı tekillik noktasıdır (aşağıdaki Liouville teoremine bakınız). Eğer esaslı tekillik varsa, fonksiyona aşkın tam fonksiyon denilir, öteki türlü fonksiyon bir polinomdur.

Liouville teoremi Cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir. Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce güçlendirilmiş halidir: Sabit olmayan tam bir fonksiyon, tüm karmaşık değerleri alır veya almadığı karmaşık noktalar en fazla bir tanedir. Bu sonraki istisnaya örnek olarak 0 değerini hiçbir zaman almayan üstel fonksiyon verilebilir.

J. E. Littlewood kitaplarının birinde, Weierstrass sigma fonksiyonunu tipik bir tam fonksiyon olarak seçmiştir.

Tam bir fonksiyonun mertebesi

Tam olan bir ${\displaystyle f(z)}$ fonksiyonunun mertebesi limsup kullanılarak aşağıdaki gibi tanımlanır.

${\displaystyle \rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}},}$

Bu ifadede ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle 0}$'dan uzaklıktır ve ${\displaystyle M(r)}$, ${\displaystyle \left|z\right|=r}$ olduğunda ${\displaystyle f(z)}$'nin maksimum mutlak değeridir. ${\displaystyle 0<\rho <\infty }$ ise, ayrıca tip de aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.}$

Ayrıca bakınız

• Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi
• Jensen formülü

Kaynakça

• Ralph P. Boas, Entire Functions, Academic Press, 1954