Çarpım fonksiyonu

Çarpım fonksiyonu, sayılar teorisinde bir f(n) aritmetik fonksiyonudur. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her x ve y çifti için çarpma işlemini koruyan fonksiyondur.^[1][2][3]

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$

Bazı örnekler

• 1(n): sabit fonksiyon, 1(n) tanımlı = 1 (tam çarpım)
• Id(n): birim fonksiyon, Id(n) = n tanımlı (tam çarpım)
• Id_k(n): kompleks sayı k için Id_k(n) = n^k tanımlı (tam çarpım). Özel örnekler;
  • Id₀(n) = 1(n) ve
  • Id₁(n) = Id(n).
• ε(n): ε(n) = 1 tanımlı. (tam çarpım). Bazen u(n) olarak yazılır, fakat μ ile karıştırılmamalıdır.
• gcd(n,k): n ve k nın ortak böleni.
• ${\displaystyle \varphi }$(n): Totient fonksiyon.
• μ(n): Mobius fonksiyon.
  • σ₀(n) = d(n), n pozitif bölen
  • σ₁(n) = σ(n) n pozitif bölen
• a(n): isomorfik olmayan n için
• λ(n): liouville fonksiyon, λ(n) = (−1)^Ω(n) (tam çarpım).
• γ(n): = (−1)^ω(n) tanımlı.
• τ(n): ramanujan tau fonksiyonu.

Özellikler

Bir çarpma foksiyonu, aritmetiğin temel teoreminin bir sonucu olarak asal sayıların değerine göre tanımlanır. Çarpma fonksiyonlarının bu özelliği hesaplamalarda büyük kolaylık sağlar. ^[4][5] Aşağıda n = 144 = 2⁴ · 3² için örnekler yer almaktadır;

d(144) = σ₀(144) = σ₀(2⁴)σ₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(2⁴)σ₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

σ^*(144) = σ^*(2⁴)σ^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Benzer olarak;

${\displaystyle \varphi }$(144)=${\displaystyle \varphi }$(2⁴)${\displaystyle \varphi }$(3²) = 8 · 6 = 48

Bazı konvolüsyonlar

• μ * 1 = ε
• (μ Id_k) * Id_k = ε
• ${\displaystyle \varphi }$ * 1 = Id
• d = 1 * 1
• σ = Id * 1 = ${\displaystyle \varphi }$ * d
• σ_k = Id_k * 1
• Id = ${\displaystyle \varphi }$ * 1 = σ * μ
• Id_k = σ_k * μ

Dirichlet serisinde bazı çarpma fonksiyonları

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Ayrıca bakınız

• Bell serisi

Kaynakça

1. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, February 2016. ISBN: 9780980232776.
2. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — s. 703 — ISBN 5-03-001793-3.
3. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert-Springer, 2007, ISBN 978-2-7117-7168-4, s. 320.
4. Pete L. Clark, Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions (İngilizce), sur UGA, MATH 4400,‎ 2011.
5. Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics (İngilizce), New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Erişim tarihi: 8 Ocak 2016.

Konuyla ilgili yayınlar

• Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
• Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
• Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
• Daboussi, H., & Delange, H. (1982). On multiplicative arithmetical functions whose modulus does not exceed one. Journal of the London Mathematical Society, 2(2), 245-264.

Dış bağlantılar

• Multiplicative function - Planetmath.org (İngilizce)
• Mathworld.wolfram.com - Multiplicative function (İngilizce)