Birebir örten fonksiyon

Birebir örten fonksiyon, f: X › Y, X kümesi {1, 2, 3, 4} ve Y kümesi {A, B, C, D} olsun. Örneğin, f(1) = D olarak ifade edilir.

Birebir örten fonksiyon, matematikte hem birebir hem örten fonksiyon özelliklerini aynı anda gösteren fonksiyonlardır. İki küme arasındaki fonksiyonda 1.kümeden her bir eleman ikinci kümedeki elemanla eşleşir ve her iki kümeden açıkta eleman kalmaz. Örten fonksiyon tanım kümesinde boşta eleman kalmayacak şekilde eşleşmenin gerçekleştiği, birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elmanıyla eşleştiği fonksiyondur. Birebir örten fonksiyonlar ise bu iki fonksiyonun özelliklerine aynı anda sahip olan fonksiyonlardır.

Birebir örten fonksiyonlar terslenebilir özelliktedir ve bu tip fonksiyonlara permütasyon ismi verilir.

Tanım

"X" ve "Y" (burada Y nin X den farklı olmasına gerek yoktur) arasında bir eşleşme için bir dört nokta olmalıdır:

1. X kümesinin her bir elemanı en az bir Y elemanı ile eşleştirilmelidir,
2. X kümesinin elemanları birden fazla Y elemanı ile eşleştirilemez,
3. Y kümesinin her bir elemanı en az bir X elemanı ile eşleştirilmelidir; ve
4. Y kümesinin hiçbir elemanı birden fazla X elemanı ile eşleşmemelidir.

Örnekler

Spor müsabakalarında başlangıç

Bir futbol takımını ele alalım. Başlangıçta çeşitli pozisyonlarda 11 oyuncu sahaya çıkacaktır. Antrenör liste üzerinden yerleşimini yapar. Buna göre;

1. Her sporcu 11 kişilik listede yer almıştır.
2. Listedeki pozisyonların (kaleci, stoper, forvet) tamamı doludur.
3. Hiç bir sporcu iki ayrı pozisyona yazılmamıştır.
4. Hiç bir pozisyonda birden fazla sporcu bulunmamıştır.

Sınıftaki öğrenciler

Bir sınıfta belli sayıda sandalye vardır. Bir grup öğrenci odaya girer ve öğretmen hepsine oturmasını söyler. Odaya hızlı bir şekilde baktıktan sonra, öğretmen, öğrenci grubu ile koltuk kümesi arasında sayıca eşitlik bulunduğunu ve burada her bir öğrencinin oturduğu koltuk ile eşleştirildiğini bildirir. Sonuç;

1. Her öğrenci bir sandalyeye oturmuştur. (Ayakta kalan yoktur)
2. Hiç bir öğrenci birden fazla sandalye işgal etmemektedir.
3. Tüm sandalyeler dolmuştur (boş sandalye kalmamıştır)
4. Hiç bir sandalyeye birden fazla öğrenci oturmamıştır.

Tersinme

Birebir örten fonksiyonların ters fonksiyonu vardır ve buna tersinme özelliği denir.

Özellikleri

Solda birebir, sağda örten fonksiyondan oluşan birebir örten fonskiyon.

• f fonksiyonu; R → R, birebir ve örten ise koordinat sisteminin yatay ve düşey eksenlerini yanlızca bir defa keser.
• Birebir örten fonksiyonlar için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.

|f(A)| = |A| ve |f⁻¹(B)| = |B|.

• X ve Y sonlu kümeler olsun. f: X → Y için ;

1. f fonksiyonu birebir ve örtendir.

2. f fonksiyonu birebirdir.

3. f fonksiyonu örtendir.

Birebir örtenlik ve kısmi fonksiyonlar

Bir kısmi fonksiyon.

Kısmi fonksiyonlar için birebir olmaları yeterli olmasından ötürü, her birebir örten fonksiyon aynı zamanda kısmi fonksiyondur. Bir tabandaki tüm kısmi birebir örten kümesine simetrik ters grup denir. ^[1] Kısmi fonksiyonlar aynı tabandaki kümelerde olduğunda genellikle birebir kısmi dönüşümler (transformasyonlar) olarak adlandırılır. ^[2] Bu tanıma bir örnek olarak, genişletilmiş karmaşık düzlemin tamamlanması yerine basitçe karmaşık düzlem üzerinde tanımlanan Möbius dönüşümü gösterilebilir. ^[3]

Ayrıca bakınız

• Birebir fonksiyon
• Örten fonksiyon
• Birim fonksiyon
• Bileşke fonksiyon
• Sabit fonksiyon
• Ters fonksiyon

Dış bağlantılar

• Matematik terimleri ve eskiden kullanımları (İngilizce).
• Birebir ve örten fonksiyon

Kaynakça

1. Christopher Hollings (16 July 2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. s. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1. https://books.google.com/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA251. 
2. Pierre A. Grillet (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. s. 228. ISBN 978-0-8247-9662-4. https://books.google.com/books?id=yM544W1N2UUC&pg=PA228. 
3. John Meakin (2007). "Groups and semigroups: connections and contrasts". C.M. Campbell, M.R. Quick, E.F. Robertson, G.C. Smith. Groups St Andrews 2005 Volume 2. Cambridge University Press. s. 367. ISBN 978-0-521-69470-4.  preprint citing Lawson, M. V. (1998). "The Möbius Inverse Monoid". Journal of Algebra 200 (2): 428. DOI:10.1006/jabr.1997.7242.