Struve fonksiyonu

Matematik'te, Struve fonksiyonları ${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}$,non-homojen y(x) 'ın çözümü Struve fonksiyonları 'dır Bessel diferansiyel denklemi:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}}$

Hermann Struve (1882) tarafından tanıtıldı. Struve fonksiyonunun düzeni'nde α birkarmaşık sayı'dır ve sıklıkla tamsayıdır.

${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)}$ modifiye Struve fonksiyonları ${\displaystyle -ie^{-i\alpha \pi /2}\mathbf {H} _{\alpha }(ix)}$ ifadesine eşittir.

Tanımlar

Bu bir homojen olmayan denklem olduğundan, non-homojen denklem çözümlerini ekleyerek, tek bir özel çözüm inşa edilebilir.Bu durumda, homojen bir çözüm Bessel fonksiyonları, ve özellikle çözüm, mukabil Struve fonksiyonu olarak seçilebilir.

Kuvvet serilerine açılım

Struve ${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}$ fonksiyonlarında kuvvet serilerinin aşağıdaki tekrarlama ilişkileri mevcut

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+{\frac {3}{2}})\Gamma (m+\alpha +{\frac {3}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha +1}}$

burada ${\displaystyle \Gamma (z)}$ gama fonksiyonu'dur.

Integral form

Struve fonksiyonunun bir diğer tanımı,α değeri için satisfying ${\displaystyle \operatorname {Re} \{\alpha \}>-1/2}$,alınarak Integral gösterimi kullanılarak mümkün:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau .}$

Asimptotik formlar

Küçük x için, güç seri açılımı vermektiryukarıda. Büyük x için, birini alır:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)}$

burada ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ Neumann fonksiyonu'dur.

Özellikleri

Özellikleri:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.}$

Diğer fonksiyonlarla ilişkisi

Weber fonksiyonu tamsayı düzeninde Struve fonksiyonları cinsinden ifade edilebilir E_n ve tam tersi: n negatif olmayan bir tamsayı durumunda

${\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}$

Struve fonksiyonu n+1/2 (n an integer) Temel fonksiyonuna açılabilir. özel olarak n negatif olmayan tamsayı ise

${\displaystyle \mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)}$

Burada sağ taraftaki bir küresel Bessel fonksiyonu'dur.

Struve fonksiyonu (Herhangi bir düzende)genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon terimleri içinde ifade edilebilir ₁F₂ (bu değil ise Gauss hipergeometrik fonksiyonu ₂F₁) :

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• R.M. Aarts and Augustus J.E.M. Janssen (2003). "Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations". J. Acoust. Soc. Am. 113 (5): 2635–2637. Bibcode 2003ASAJ..113.2635A. DOI:10.1121/1.1564019. PMID 12765381. 
• Şablon:AS ref
• Ivanov, A.B. (2001), "Struve fonksiyonu", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/S/s090700.htm 
• Şablon:Dlmf
• Struve, H. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren". Ann. Physik Chemie 17 (13): 1008–1016. Bibcode 1882AnP...253.1008S. DOI:10.1002/andp.18822531319. 

Dış bağlantılar

• Struve functions at the Wolfram functions site.