Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü

Tekrarlı integrasyon için Cauchy formulü ,Augustin Louis Cauchy adı anısına,bir tek integralin içinde bir fonksiyonun antidiferansiyasyonları bir n sıkıştırma sağlar(cf. Cauchy formulü).

Skaler durum

Diyelimki ƒ gerçek hat üzerinde bir sürekli fonksiyon olsun. O zaman a tabanından ƒ in tekrarlı ninci integrali,

${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}}$,

tek integrasyon ile veriliyor

${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Bir kanıt indüksiyon ile ilgilidir. Bu nedenle ƒ süreklidir, Hesabın temel teoreminden aşağıdaki taban durumu aşağıdadır:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}$;

burada

${\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Şimdi, varsayalım bu doğru n içindir,ve diyelimki n+1 için onu sağlıyor. induksiyon hipotezi ve integrasyonun derecesinin anahtarı uygulanır,

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\int _{t}^{x}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} \sigma _{1}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Kanıt aşağıdadır.

Uygulamalar

Kesirli hesap içinde,zamanların bir kısmi sayısını diferansiyel veya entegrasyonunu sağlayan bu formül diferintegralin bir gösterim yapımına kullanılabilir olsun,.Bu formülle zamanın bir kesirli sayısı entegrasyonu basittir; tek Γ(n) olarak (n-1)! yorumlaması ile kesirli n kullanılabilir (bakınız Gama fonksiyonu).

Kaynakça

• Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

Dış bağlantılar

• Alan Beardon (2000). "Fractional calculus II". University of Cambridge. 17 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20110717025019/http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1369.