Küresel harmonikler

Ilk birkaç küresel harmonikler görsel temsilleri.Burada mavi kısımlar fonksiyonun pozitif bölgelerini ve sarı kısımlar negatif bölgeleri temsil eder.

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır.Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır,Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır.Laplace'ın küresel harmonikleri ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yilinda tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarinin özel bir kümesidir.Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir.^[1] Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır.Küresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde,dolaylı aydınlatma (ortam tıkanıklığı, küresel aydınlatma, Önceden hesaplanan parlaklık transferi, vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

Tarihçe

Küresel harmonikler üç boyut içerisinde Newton'un evrensel kütle çekim yasası nın Newtonyen potansiyeli ile bağlantısı nedeniyle 1782 yılında, Pierre-Simon de Laplace ilk kez Mécanique Célestesi içinde araştırdı,x_i noktalarında yerleşik nokta kütlelerin kümesinin bir x noktasında ilişkisini belirleyen m_i ile veriliyor idi

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$

yukardaki toplamda her terim için bir nokta kütle Newtonyen potansiyeli bireyseldir.İlk kez r = |x| ve r₁ = |x₁| nin kuvvetleri içinde Newtonyen potansiyelin açılımını Adrien-Marie Legendre araştırdı. O bunu r ≤ r₁ için araştırmıştı.

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$

burada γ vektörler x ve x₁ arasındaki açıdır.Fonksiyonlar P_i Legendre polinomlarıdır, ve bu küresel harmoniklerin bir özel durumudur. sonradan, "in his 1782 memoire" 'de, Laplace x₁ ve x arasında γ açısını göstermek için küresel koordinatlarda kullanılan katsayıları araştırdı.(daha detaylı analiz için bakınız Fizikte Legendre polinomlarının uygulamaları )

1867de, William Thomson (Lord Kelvin) ve Peter Guthrie Tait burada Doğa felsefesi üzerine tez içinde katı küresel harmonikleri tanıttı, ayrica bu fonksiyonlarin içinde "küresel harmonikler" adı ilk kez tanıtıldı.Katı harmonikler Laplace denkleminin homojen çözümleridir.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$

ile küresel koordinatlar içinde Laplace denklemi incelendi, Thomson ve Tait Laplace'ın küresel harmoniklerini açıkladı."Laplace'ın katsayıları" terimi bir çizgi boyunca tanıtılan çözümlerin tanımlanan özel sistemi için William Whewellle çalışıyordu, oysa diğer zonal küresel harmonikler için bu düzenleme korundu şöyleki Laplace ve Legendre ile tanıtılmış olan özellikler idi.

19.yy Fourier serisinde gelişmeler,ısı denklemi ve dalga denkleminin çözümü gibi dörtgen domenler içinde fizik problemlerinin yaygın bir çeşidinin çözümünü olası yapar. Bu trigonometrik fonksiyonlar serisi içindeki fonksiyonların açılımı ile sağlanabilir. Oysa bir Fourier serisinin bir sicim içinde de temel titreşim modları gösterilebilir,küresel harmonikler benzer şekilde bir kürenin temel titreşim modları ile gösterilebiliyor.Fourier serilerinin teorisinin trigonometrik fonksiyonlar tarafından birçok açıdan genelleştirilmiş şekilleri küresel harmoniklerdeki açılımlar olarak yerini almaktadır .Bu, aslında Laplace ve Legendre tarafından incelenen gök mekaniği gibi küresel simetri içeren sorunları içinde bir nimet oldu

20. yy kuantum mekaniğinin doğumu için küresel harmoniklerin fizik sahnedeki önemi zaten yaygındı.Küresel harmonikler yörünge açısal momentum işlemcisinin karesinin özfonksiyonlarıdır

${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$

ve bunun için bu farklı nicelenmiş atomik yörüngelerin düzenlenimini gösterir.

Laplace'ın küresel harmonikleri

Gerçek (Laplace) küresel harmonikler ℓ= 0, ..., 4 (yukarıdan aşağıya) ve m = 0, ..., 4 (soldan sağa) için ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ve Negatif dereceli harmonikler ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ z ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$ ile pozitif dereceli olanlara göre yaklaşık döndürülmüştür

Laplace denklemi skalar(egimsiz) bir alanın gradyanının diverjansı f in sıfır olduğunu vurgular.küresel koordinatlar da ise bu şöyledir:^[2]

${\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}$

Yani f(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ) formunda bulunan problemin çözümleri düşünülüyor.Değişkenlerin ayrılması sonucu,iki diferansiyel denklemin Laplace denklemine uyarlanmasi ile :

${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$

İkinci denklem Y varsayımı ile sadeleştirilebilir Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ) biçimi var.İkinci denklem için yine değişkenlerin ayrılması uygulanarak diferansiyel denklemlerin çifti için verilen yol

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$

${\displaystyle \lambda \sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}}$

Bu bazı m sayıları içindir. Öncelikle, m bir karmaşık sabittir, ama bir Φ periyodik fonksiyonu böylece 2π periyoduna eşit bölündüğü için m zorunlu olarak bir tamsayı ve Φ e^±imφ karmaşık üstellerin bir doğrusal bileşimidir.Çözüm fonksiyonu Y(θ,φ); kürenin kutup bölgelerinde düzenlidir, burada θ=0,π dir.Domenin ikinci denklemin sınır noktalarında Θ çözümü bu düzenlilik uyarlamasi ile bir Sturm–Liouville problemi λ parametresinin kuvveti m λ = ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı negatif olmayan ℓ ≥ |m| tamsayılar içindir; bu ayrıca yörünge açısal momentumun terimleri içinde aşağıda açıklanmıştır . Ayrıca,Legendre denklemi içinde bu denklemin t = cosθ dönüsümü değişken dönüşümlerinin bir yer değişimidir, böylece çözüm ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ asosiye Legendre polinomunun bir çoğuludur.Sonuç olarak,R için denklem R(r) = Ar^ℓ + Br^−ℓ−1;biçiminin çözümü var ve gerekli çözüm R³ boyunca düzenli olan B = 0 kuvvetleridir.^[3]

Burada Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ).özel biçiminin sahip olduğu varsayılan çözüm idi. ℓ,nin verilen bir çözümü için burada 2ℓ+1 bu biçimlerin bağımsız çözümleridir, m ile −ℓ ≤ m ≤ ℓ. her tamsayı için tektir Burada açısal çözümler trigonometrik fonksiyonların bir çarpımıdır. Burada bir karmaşık üstel,olarak gösterilebilir ve asosiye Legendre polinomları:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$

yerine getirip

${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$

Burada ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ℓ ve m derecenin bir küresel harmonik fonksiyonu olarak adlandırılır , ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ bir asosiye Legendre polinomudur, N bir normalizasyon sabitidir, ve θ ve φ sırasıyla represent eş-enlem ve boylamı gösteriyor.Özel olarak, eş-enlem θ, veya kutup açısı, Güney Kutup'ta π den Kuzey Kutupta 0 a kadar aralıklıdır.Ekvatorda π/2'nin varsayılan değeri, ve boylam φ, veya güney açısı, 0 ≤ φ < 2π ile tüm değerleri varsayabiliriz.Bir sabitlenmiş ℓ tamsayısı için,özdeğer probleminin her Y(θ,φ) çözümü

${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ nin bir doğrusal bileşimdir.Aslında,böyle bir çözüm için, r^ℓY(θ,φ) böyle bir homojen polinomun küresel koordinatlar içinde bağıntıları harmoniktir (bakınızaşağıda), ve burada gösterilen boyut sayılı polinomlar gibi 2ℓ+1 doğrusal bağımlıdır.

Bir küre merkezli orijininde Laplace denklemi için genel çözüm uygun ölçek çarpanı r^ℓ ile çarpılan küresel harmonik fonksiyonlarının bir doğrusal bileşimidir,

${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,r^{\ell }\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$

Burada ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ sabitlerdir ve çarpanlar ${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{m}}$ katı harmonikler olarak biliniyor.Bir açılım gibi küre içinde değerdir

${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup \nolimits _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{\frac {1}{\ell }}}}.}$

Yörünge açısal momentum

Kuantum mekanikte, Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun terimleri içinde anlamlıdır^[4]

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar \mathbf {x} \times \nabla =L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$

${\displaystyle \hbar }$ kuantum mekanikte gelenekseldir; bu ${\displaystyle \hbar =1}$ içindeki birimler içinde çalışma için gelenekseldir.Küresel harmonikler yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonlarıdır

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\sin \theta {\partial \over \partial \theta }-{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \varphi ^{2}}.\end{aligned}}}$

Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$

Bu operatörlerdeki değişme, ve R³ üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir f fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde yoğun tanımlanmış öz-eşleniktir:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$

Daha ötesi, L² bir pozitif işlemcidir.

Eğer Y ,L²'nin bir ortak özfonksiyonu ve L_z, ise

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$

ile tanımlanır.Bazı gerçek sayılar m ve λ için. Burada m aslında bir tamsayı olmalıdır, Y için periyodik bir sayı ile koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. dahası, yine

${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$

ve L_x, L_y, L_z nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ ≥ m².

Bu E_λ,m ile bu ortak özuzayı, ve yükseltgen ve indirgen işlemciler tanımı ile ifade

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$

İse L₊ ve L₋ ile L² değişme, ve L₊, L₋, L_z ile üretilen Lie cebri özel doğrusal Lie cebridir,değişmelilik ilişkileri ile

${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$

Böylece L₊ : E_λ,m → E_λ,m+1 (bu bir "operatörü yükseltmek"tir) ve L₋ : E_λ,m → E_λ,m−1 (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak, Lk+ : E_λ,m → E_λ,m+k yeterince büyük k için sıfır olmalı, çünkü λ ≥ m² eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki Y ∈ E_λ,m bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun, ve diyelimki k en küçük tamsayı olsun böylece

${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$

ise, yine

${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$

bu aşağıda şöyledir

${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$

Böylece ℓ = m+k pozitif tamsayı için λ = ℓ(ℓ+1).

Kurallar

Diklik ve normalleştirme

Birkaç farklı normalleştirmeler Laplace küresel harmonik fonksiyonları için yaygın kullanım içindedir.Bölüm boyunca,Biz bu standart yöntemi kullanıyoruz (bak asosiye Legendre polinomları)

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

Rodrigues'in aşağıdaki formül ile verilen doğal normalleştirme ki şudur.

sismolojide, Laplace küresel harmonikleri (bu kurallar bu yazı içinde kullanıldı)

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

olarak genel tanımıdır.Kuantum mekanik içinde ise:^[5][6]

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

ortonormal olan şudur.

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$

burada δ_ij Kronecker delta ve dΩ = sinθ dφ dθ dır. Bu olasılığın normalize olmasını sağlar,çünkü bu normalleştirme kuantum mekaniğinde kullanılır, örnegin

${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$

Jeodezi ve spektral analiz kullanım disiplinleri

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

birim güce sahip olan

${\displaystyle {1 \over 4\pi }\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$

manyetikler topluluğunun, aksine Schmidt yarı normalize harmonikleri kullanır

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

bu normalleştirmedir

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega ={4\pi \over (2\ell +1)}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$

Kuantum mekaniğinde bu normalleştirmede bazen kullanılır, ve sonra Giulio Racah adına Racah'ın normalleşmesi dendi.

Bunun yukarıdaki normalleştirilmiş küresel harmonik fonksiyonların tümünü karşılayacak olduğu gösterilebilir

${\displaystyle Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$

burada üstsimge * ye karmaşık eşlenik denir. Karşıt olarak, bu denklem küresel harmonik fonksiyonlar ile Wigner D-matrisinin ilişkisinden aşağıdadır.

Condon-Shortley fazı

Küresel harmonik fonksiyonların tanım karışıklıklarının tek kaynağı endişeleri m > 0, 1 için (−1)^m' in bir faz faktörü hariç, kuantum mekanik literatür içinde Condon–Shortley fazı olarak sık anılır.kuantum mekanik topluluğu içinde,ya da Asosiye Legendre polinomunun tanımı içinde küresel harmonik fonksiyonların tanımına eklemek için bu faz faktörünü içeren uygulama yaygındır.Burada küresel harmonik fonksiyonların tanımı içinde Condon–Shortley fazını kullanmaya gerek yoktur, ama o dahil yükselten ve alçaltan işlemcilerin özel uygulamalarını bazı kuantum mekanik işlemcileri kolaylaştırabilir. geodezi^[7] ve manyetik topluluk hiçbir zaman ne küresel harmonik fonksiyonların kendi tanımı nede asosiye Legendre polinomlarının olanlar içinde Condon–Shortley faz faktorünü içeriyor.

Gerçek form

Küresel harmoniklerin bir gerçek tabanı onların karmaşık analog terimleri içinde tanımlanabilir çerçevesi ile

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Condon-Shortley faz kuralı tutarlılık için burada kullanılmıştır. Karşılık gelen ters denklemler

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$

Gerçek küresel harmonikler bazen tesseral küresel harmonikler olarak biliniyor.^[8] Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir.m > 0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir, ve böylece sine tip'inin m < 0 ile . Bunun nedeni olarak Legendre polinomları açısından işlevleri yazılarak görülebilir

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi &{\mbox{if }}m>0\\\displaystyle {\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{if }}m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\sin |m|\varphi &{\mbox{if }}m<0.\end{cases}}}$

Aynı sinüs ve kosinüs faktörler de kartezyen gösterimi ile ilgilidir, aşağıdaki alt bölümde görülebilir.

kadar gerçek küresel harmoniklerin listesi için bakınız burada ve ${\displaystyle \ell =4}$ içeriyor , bunun yukarıdaki denklemlerin çıkışı ile uyumlu olduğu görülebilir.

Kuantum kimyada kullanımı

Hidrojen atomu için analitik çözümlerden bilindiği gibi, dalga fonksiyonunun açısal kısmının özfonksiyonlarının küresel harmonikleri bulunmaktadır. Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir.Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur.İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak küresel harmonik tablosundan görülebileceği gibi, olağan p işlevleri (${\displaystyle l=1}$) karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece x, y ve z.

Kartezyen formu içinde küresel harmonikler

Kartezyen koordinatlar içinde normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):

${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}(-1)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\\qquad (A_{m}-iB_{m})\\\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

ve 'm = 0 için:

${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$

Burada

${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos((m-p){\frac {\pi }{2}}),}$

${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin((m-p){\frac {\pi }{2}}),}$

ve

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$

${\displaystyle m=0}$ için bu

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$

ya indirgenir

Örnekler

${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{m}^{\ell }(z)}$, ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$, ve ${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$ için biz yukarıdakilerden açıkça listelenmiş şu bağıntıları elde ederiz:

${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5z^{2}-r^{2})(x+iy)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5\cos ^{2}\theta -1)(\sin \theta e^{i\varphi })}$

${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7z^{2}-r^{2})(x-iy)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7\cos ^{2}\theta -1)(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi })}$

Bu burada ve burada listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir .

Gerçek form

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor,${\displaystyle m>0}$ için bunun olduğu görülmektedir yalnızca ${\displaystyle A_{m}}$ terimleri (kosinus)içeriyor ve ${\displaystyle m<0}$ için yalnızca ${\displaystyle B_{m}}$ terimleri (sinüs) içeriyor:

${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\\\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$

ve m = 0 için:

${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$

Spektrum analizi

Sinyal işlemci içinde kuvvet spektrumu

bir f fonksiyonunun toplam kuvveti kare fonksiyonun integrali olarak işaret işleme literatüründe tanımlanıyor, bu domenin bölgesi ile bölünür.Gerçek birim-kuvvet küresel harmonik fonksiyonların ortonormalite özellikleri kullanılıyor, bu birim küre üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun toplam gücünü doğrulamak için basitçe Parseval teoreminin bir genellemesi spektral katsayılarla ilişkilidir:

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$

burada

${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$

açısal kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor.Benzer bir şekilde, bir iki fonksiyon arasında çapraz güç tanımlayabilirsiniz

${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$

burada

${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$

çapraz-kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Eğer fonksiyonlar f ve g have bir (yani spektral katsayılar f₀₀ ve g₀₀ sıfırdır) ortada sıfır var, ise sırasıyla S_ff(ℓ) ve S_fg(ℓ) fonksiyon'ların değişken için ve ℓ derecesi için eşdeğişken katkısını gösterir. Bu yaygın e (çapraz-)kuvvet spektrum formunun bir kuvvet kanunu ile iyi yaklaşıklıktır

${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$

Eğer β = 0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır.Eğer β < 0 ise,spektrum "kırmızı" olarak adlandırılan düşük dereceden de daha kuvvetli yüksek dereceden uzun dalgadır.Sonuç olarak, eğer β > 0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor.S_ff(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde fnin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir .

Diferansiyellenebilir özellikler

Ayrıca orijinal fonksiyonunun S_ff(ℓ)in asimtotik terimleri içinde f orijinal fonksiyonunun türevlenebilir özellikleri anlaşılabilir. Özel olarak, eğer S_ff(ℓ) ℓ → ∞ olarak ℓ'nin herhangi kesirli fonksiyonu daha hızlı çürüyorsa, f sonsuz türevlenebilirdir. Ve dahası S_ff(ℓ) üstel bozunma ise f küre üzerinde aslında gerçek analitiktir.

Diferansiyellenebilirlik için S_ff(ℓ) in büyüklüğü ile ilişkili durumları Fourier serisinin katsayılarının büyümesi ndeki analog sonuçlara benzer ise genel teknik olarak Sobolev uzayının teorisi kullanılıyor. Özellikle eğer

${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$

ise f Sobolev uzayı H^s(S²) içindedir. Özel olarak,Sobolev gömme teoremi f

${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$

şartıyla tüm sler için sonsuz türevlenebilir anlamına gelir.

Küresel harmonikleri gösterimleme

Birim küre ve nodal çizgiler üzerinde ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ nin şematik gösterimi.${\displaystyle {\text{Re}}[Y_{\ell m}]}$ büyük çemberler kutuplara geçerek m boyunca 0'a eşittir, ve ℓ−m boyunca eşit enlem çemberleri. Fonksiyon değişiklikleri bu hatlardan birini kestiği her zaman işareti.

n = 5 derecenin küresel harmoniklerinin 3D renkli çizimi. unutmadan n = ℓ.

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ Laplace küresel harmonikler burada "düğüm çizgileri" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyleki, burada ${\displaystyle {\text{Re}}[Y_{\ell }^{m}]=0}$, küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada ${\displaystyle {\text{Im}}[Y_{\ell }^{m}]=0}$. dir ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal ve gerçek bileşenleri her ℓ−|m| sıfırlarına sahiptir,oysa, uzunlamasına yön için,trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|m| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece m (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan, ve zonal olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler zonal küresel fonksiyonların bir özel durumudur Eğer ℓ = |m| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur, ve fonksiyonlar sektörel olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre denetleyicisi fonksiyonları, ve bu tesseral olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$nın böyle olması gerekmez, ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.^[9]

Küresel harmoniklerin listesi

İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}$

${\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }$

${\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}$

${\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}$

Yüksek boyutlar

Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre S² üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor . Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı Rⁿ için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır.^[10] Diyelimki P_ℓ n değişkenleri içinde ℓ derecesinin homojen polinomlarının uzayını ifade eder.Şöyleki, bir P polinomu P_ℓ içinde şunu sağlıyor.

${\displaystyle P(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }P(\mathbf {x} ).}$

Diyelimki P_ℓ nin altuzayı ifadesi A_ℓ tüm harmonik polinomlarının oluşturuyor; bu katı küresel harmoniklerdir.Diyelimki H_ℓ birim kürenin üzerindeki fonksiyonların uzayını ifade ediyor

${\displaystyle S^{n-1}=\{\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}\,\mid \,|x|=1\}}$

A_ℓ dan sınırlandırılarak elde edilir.

aşağıdaki özellikler uyar:

• H_ℓ uzayının toplamı tektip topoloji ye göre Sⁿ⁻¹ üzerinde sürekli fonksiyonun kümesi içinde yoğunluk Stone-Weierstrass teoremi iledir.Bir sonuç olarak, bu uzayın toplamı küre üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların L²(Sⁿ⁻¹) uzayı içinde ayrıca yoğunluktur .Böylece bir küresel harmoniklerin bir serisi içinde küre teklik ayrışması üzerinde her kare integrallenebilir fonksiyon, burada L² içinde anlamı yakınsak seridir.
• Tüm f ∈ H_ℓ ,için tek olan

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$

burada Δ_Sⁿ⁻¹ Sⁿ⁻¹ üzerinde Laplace–Beltrami işlemcisi dir .Bu operatör üç boyutlu Laplacian'ın açısal kısmının analogudur;Demek ki,n boyutlarda Laplasyen olarak parçalanır

${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}.}$

• Bu Stokes teoremi ve H_ℓ uzayı önceki özelliği takip eden L²(Sⁿ⁻¹) dan iç çarpıma göre ortogonaldir. Demek ki,

${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,d\Omega =0}$

f ∈ H_ℓ ve g ∈ H_k for k ≠ ℓ.için

• Aksine, H_ℓ uzayı Δ_Sⁿ⁻¹ nın öz uzayları tamdır. Özel olarak, ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$ Riesz potansiyeli için spektral teoreminin bir uygulaması H_ℓ uzayları diğer kanıtları veriyor.İkişerli ortogonal ve L²(Sⁿ⁻¹) içinde tamdır.
• Her homojen polinom P ∈ P_ℓ formu içinde teklik yazılabilir

${\displaystyle P(x)=P_{\ell }(x)+|x|^{2}P_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }P_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}P_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$

burada P_j ∈ A_j. Özel olarak,

${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}.}$

yüksek boyutlar içinde küresel harmoniklerin bir ortogonal tabanı değişkenlerin ayrılmasının metodu ile tümevarım ile inşa edilebilir,küresel Laplasyen için Sturm-Liouville problemi çözümü ile

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\sin ^{n-2}\phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\sin ^{-2}\phi \Delta _{S^{n-2}}}$

burada φ Sⁿ⁻¹ üzerinde bir küresel koordinat sistemi içinde eksenel koordinattır.Bir işlem gibi sonuçtur^[11]

${\displaystyle Y_{l_{1},\dots l_{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{il_{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{l_{j}}^{l_{n-2}}(\theta _{j})}$

burada |ℓ₁| ≤ ℓ₂ ≤ ... ≤ ℓ_n−1 indisleri karşılar ve özdeğer −ℓ_n−1(ℓ_n−1 + n−2)dır.Çarpım içindeki foksiyonlar Legendre fonksiyonunun terimleri içinde tanımlanıyor

${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{l}(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+l+j-2)!}{(L-l)!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-(l+{\frac {j-2}{2}})}(\cos \theta )}$

Gösterim teorisi ile bağlantısı

H_ℓ uzayı ℓ derecenin küresel harmoniğinin bir (SO(3))nokta çevresinde dönmelerin simetri grubunun bir gösterimi ve SU(2) çift örtüktür. Aslında,iki-boyutlu küre üzerinde dönme hareketi, ve böylece ayrıca fonksiyon düzeni ile H_ℓ üzerinde

${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho }$

ψ için bir küresel harmonik ve ρ bir dönme ve H_ℓ gösterimi SO(3)ün bir indirgenemez gösterimidir.

H_ℓnın ögeleri A_ℓnın ögelerinin küre için sınırlandırılmış olarak ortaya çıkar:üç-boyutlu öklid uzayı R³ üzerinde ℓ derecenin homojen harmonik polinomlarıdır.ψ ∈ A_ℓ nin polarizasyonu ile, burada ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ indisler üzerinde teklik şartı ile belirlenen simetrik katsayılardır,

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$

Durum that ψ be harmonik is tensör ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız iz olmalı. Böylece SO(3), H_ℓ nin indirgenemez gösterim olarak ℓ derecesinin simetrik tensörlerinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: n-küre üzerinde küresel harmoniklerin H_ℓ uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO(n+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür,yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz .

özel ortogonal grupların have ek spin gösterimleri var ve tensör gösterimleri değildir, ve tipik olarak küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün spin gösterimidir: strictly speaking these are çift örtü SU(2) ve SO(3)ün çift örtünün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim kuaterniyonların grubu ile özdeştir, ve 3-küre ile ile bu çakışma,3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir,kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.

Genellemeler

İki-kürenin açı koruyucu simetrileri Möbiüs dönüşümleri PSL(2,C)'nin grubu ile tarif edilmektedir.Bu grup ile ilgili olarak, küre genel Riemann kürenin eşdeğeridir.Grup PSL(2,C) (uygun) Lorentz grubuna izomorf ve iki küre üzerinde hareket Minkowski uzayında göksel küre üzerinde Lorentz grubunun eylemi ile uygundur.Lorentz grubunun küresel harmonik analogu bir Hipergeometrik seri ile verilir; bundan başka, küresel harmoniklerin terimleri içinde yeniden ifade edileblir.SO(3) = PSU(2) olarak PSL(2,C)nin bir altgrubudur.Daha genel olarak, hipergeometrik serisi herhangi bir simetrik uzay simetrilerini açıklamak için jeneralize olabilir; Özellikle, hipergeometrik serisi herhangi bir Lie grubu için geliştirilmiş olabilir.^{[12][13][14][15]}

Ayrıca bakınız

• Silindirik harmonikler
• Küresel taban
• Spin küresel harmonikler
• Spin-ağırlıklı küresel harmonikler
• Sturm-Liouville teorisi
• Küresel harmoniklerin tablosu
• Vektör küresel harmonikler

Notlar

1. A historical account of various approaches to spherical harmonics in three-dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.
2. The approach to spherical harmonics taken here is found in Courant & Hilbert 1966, §V.8, §VII.5.
3. Fizik uygulamalarda sıklıkla sonsuzda kaybolan bu çözüm alınır,A = 0 yapıyor.Bu küresel harmoniklerin açısal kısmı etkilemez.
4. Edmonds 1957, §2.5
5. Messiah, Albert (1999). Quantum mechanics : two volumes bound as one (Two vol. bound as one, unabridged reprint bas.). Mineola, NY: Dover. ISBN 9780486409245. 
6. al.], Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë; transl. from the French by Susan Reid Hemley ... [et (1996). Quantum mechanics.. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527. 
7. Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy, 1967, eq. 1-62
8. Watson & Whittaker 1927, s. 392.
9. Eremenko, Jakobson & Nadirashvili 2007
10. Solomentsev 2001; Stein & Weiss 1971, §Iv.2
11. Higuchi, Atsushi (1987). "Symmetric tensor spherical harmonics on the N-sphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)". Journal of Mathematical Physics 28 (7). http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v28/i7/p1553_s1. 
12. N. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations, Am. Math. Soc. Transl.,vol. 22, (1968).
13. J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).
14. W. Miller, Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Reading (1977).
15. A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).

Kaynakça

Cite edilmiş kaynaklar

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
• Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 
• Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), "On nodal sets and nodal domains on ${\displaystyle S^{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$", Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 57 (7): 2345–2360, ISSN 0373-0956, Şablon:MathSciNet 
• MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004), Group theory: The application to quantum mechanics, Dover, ISBN 978-0-486-43798-9 .
• Solomentsev, E.D. (2001), "Spherical harmonics", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/S/s086690.htm .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
• Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome", Annalen der Physik 387 (3): 355–393, Bibcode 1927AnP...387..355U, DOI:10.1002/andp.19273870304 .
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, ss. 392 .

Genel kaynakça

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.
• C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, ISBN 978-3-540-03600-5.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
• Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.7. Spherical Harmonics", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd bas.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=292 
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4
• Eric W. Weisstein, Spherical harmonics (MathWorld)