Paralel taşınım

(A'dan N'e B'ye ve geri A'ya )küre üzerinde bir kapalı döngü çevresinde bir vektörün paralel taşınımı.${\displaystyle \alpha }$ açı ile döndürüyor bu,döngü içi bölgeye orantılıdır.

Geometride paralel taşınım, bir manifold içinde düzgün eğrilik boyunca geometrik veri taşınmasının bir yoludur. Eğer manifold bir afin bağlantı ile donanımlı (tanjant demet üzerinde bir eşdeğişken türev veya bağlantı ), ise bu bağlantı manifold eğrisinin boyunca taşınımı sağlayan vektörlere böylece bu bağlantıya sırasıyla paralel kalır. Diğer kavramlar bağlantının donanımı ile burada kendi paralel taşıma sistemleri yanı sıra gelir. Örneğin,bir eşdeğişken türev ile aynı şekilde içinde vektörlerin paralel taşınımı için ayrıca bir vektör demeti içinde bir Koszul bağlantısı sağlar.Bir Ehresmann veya Cartan bağlantısı manifoldun bir temel demetinin toplam uzay eğrilerinin kaldırılmasını sağlar. Bu tür eğri kaldırma bazen referans çerçevelerinin paralel taşıması olarak düşünülebilir. Paralel taşıma için bir bağlantı böylece bir eğri boyunca bir manifoldun yerel geometri hareketi,Yakın noktaların geometrilerinin bağlantılarının bir anlamda, bir yol gereçleridir: Orada mevcut paralel bir taşıma birçok kavramlar olabilir, ancak tek bir belirtim olabilir - bir eğri üzerinde noktaların geometrileri kadar bağlayan bir yol - bir bağlantısı sağlayan eşdeğerdir. Aslında, bağlantının her zamanki kavramı paralel taşımanın sonsuz küçük analogudur. Veya tam tersi, paralel taşınım bir bağlantının yerel hayata geçirilmesidir.Paralel taşınım olarak bir yerel bağlantının gerçekleştirilme gereçleri,ve ayrıca eğrilikin bir yerel gerçekleştirilme gereçleri holonomi olarak biliniyor. Ambrose-Singer teoremi bu eğrilik ve holonomi arasındaki ilişkililiği açığa çıkarır.

Bir vektör demeti üzerinde paralel taşınım

Diyelimki M bir düzgün manifold olsun.Diyelimki E→M bir vektör demeti ile ∇ eşdeğişkin türev ve I bir açık aralığı ile ölçeklendirilmiş bir düzgün eğri γ: I→M olsun.Bir γ boyunca ${\displaystyle E}$ nin kesit ${\displaystyle X}$ paraleldir denir. eğer

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}$

Yine bir kesit daha,P = γ(0) ∈ M de e₀ ∈ ,E_P olan bir öge verilmiş varsayalım. γ boyunca e₀'nin paralel taşıması γ üzerinde bir paralel bölüm X ,e₀'nin bir uzantısıdır. Daha kesin olarak, X γ boyunca E nin teklik kesitidir böylece

1. ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}$
2. ${\displaystyle X_{\gamma (0)}=e_{0}.}$

Unutmayın verilen herhangi bir yama koordinat (1) adi diferansiyel denklem (2) sınır durum tarafından verilen ilk koşulu ile, sıradan bir diferansiyel denklem tanımlar. Bu durumda, Picard-Lindelöf teoremi çözümün varlığını ve tekliğini garanti eder.

Böylece, bağlantı ∇ bir eğri boyunca elyafların elemanların arasında bir yolu tanımlamaktadır ve bu eğri boyunca noktalarda lifler arasında doğrusal izomorfizm sağlamaktadır:

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

den γ(t) üzerinde olduğu için üzerinde yatan vektör uzayı γ(s).

Bu şekilde elde edilen lifler arasında eş yapılar genel olarak eğrinin seçimine bağlıdır: bunlar yoksa, o zaman her bir eğri boyunca paralel taşıma ,M in her yerinde E nin paralel kesitlerini tanımlamakta kullanılabilir. Özel olarak,bir kapalı eğri çevresindeki paralel taşınım bir x noktasından başlar.Bu tanjant uzayının x da tanımlanan bir otomorfizmi mutlaka önemsiz değildir. x da tüm kapalı eğri tabanı ile tanımlanan paralel taşınım otomorfizmlerine xda bir dönüşüm grubu formu ∇nın holonomi grubu denir. burada bu grup ve x da ∇nın eğriliğinin değeri arası kapalı ilişkidir; bu Ambrose-Singer holonomi teoreminin konusudur.

Paralel taşınımdan bağlantı kurtarma

Verilen bir eşdeğişken türev ∇,bir eğri γ boyunca paralel taşınım ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$ durumunun integrasyonu ile elde edilir karşı olarak, eğer parallel taşınımın geçerli bir uygun gösterimi, ise bir karşılık bağlantı diferansiyasyon ile elde edilebir.Bu yaklaşım kaynaklanmaktadır, esas olarak, Knebelman (1951)'ya; bakınız Guggenheimer (1977). Lumiste (2001) ayrıca bu yaklaşımı benimsemektedir.

Göndermelerin manifold bir topluluğu için her γ eğrisine bir atama dikkate almalı

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

böylece

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$, E_γ(s).nin denk dönüşümüdür
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. Γnın bağımlılığı γüzerinde, s, ve t "düzgündür."

Durum 3 içinde düzgünlük gösterimi.sıkıştırmak için biraz zordur(lif demeti içinde paralel taşınımın aşağıdaki konusuna bakın). Özel olarak,Kobayashi ve Nomizu gibi modern yazarlar bazı diğer duyu içinde bir bağlantıdan gelen bağlantının paralel taşınımın genel görünümü, burada düzgünlük ifadenin daha kolayıdır

Bununla birlikte, paralel taşıma için bir belirli kural,bu aşağıda E içinde kurtarılan ilişkili sonsuz bağlantıya olasılıktır.Diyelimki başlangıç noktası γ(0) ile M içindeki γ bir differensiyellenebilir eğri ve başlangıç tanjant vektörü X = γ′(0) olsun . Eğer V bir γ üzerinde Enin bir kısmıdır ve o zaman diyelimki

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

Bu E üzerinde ∇ ilişkili sonsuz bağlantısı tanımıdır.Bu sonsuz bağlantıdan bir aynı paralel taşınım Γ korunur.

Özel durum:tanjant demeti

Diyelimki M bir düzgün manifold olsun. O zaman M,in tanjant demeti üzerinde bir bağlantıdır ,bir afin bağlantı denilen eğrilerin bir sınıfı (afin)farklılaşacaktır geodezikler Kobayashi Nomizu, Volume 1, Chapter III denir.Eğer ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ifadesi : ${\displaystyle \gamma }$,boyunca paralel taşınımsa bir düzgün eğri γ: I → M bir afin geodeziktir . Bunun ifadesi

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

zamana göre türevi alınırsa, bu daha bilinen bir şekil alır

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

Riemannyen geometri içinde paralel taşınım

(yalancı) Riemannyen geometride, bir metrik bağlantı olan paralel taşınım dönüşümleri korumak için herhangi bir bağlantı metrik tensördür. Böylece bir metrik bağlantının herhangi bağlantısı Γdır.Böylece,herhangi iki vektörler X, Y ∈ için T_γ(s)

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

t=0'da alınan türevler,ilişkili diferensiyel işlemci ∇ bir çarpım kuralı sırasıyla metriğin şunu karşılaması gerekir :

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

Jeodezikler

Eğer ∇ bir metrik bağlantı, ise afin jeodezikler Riemannian geometrinin kullandığı geodeziklerdir ve yerel en kısa mesafedir. Daha kesin bir ifadeyle, ilk unutulmaması gereken eğer γ: I → M, buradaI bir açık aralık, bir geodezik, ise ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ 'ın normudur. I üzerinde sabittir.Yani

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

Bu Gauss önermesi'nin bir uygulamasından aşağıda ki eğer A ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ nin normu ise mesafe, metrik ile indüklenir,γ eğrisi üzerinde iki yeteri yakınlıkta noktalar arasında söylenen γ(t₁) ve γ(t₂), aşağıdaki ile veriliyor

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

bu yeterince yakın olmayan noktalar için yukarıdaki formül doğru olmayabilir dolayısıylla geodezik manifold çevresini saran bir örnek için olabilir(örneğin bir küre üzerinde).

Genelleme

Paralel taşınım bağlantılarının diğer tipleri daha büyük genelleme içinde tanımlanabilir ,böylece sadece bir vektör demeti içinde tanımlı değildir. Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, Chapter II.Temel bağlantılar için tek genellemedir.Diyelimki G Lie grubu yapısı ile bir M manifold üzerinde bir temel demet P → M ve bir temel bağlantı ω olsun.M içinde her γ eğrisi için vektör demetlerinin durumu içinde P tanımı üzerinde ω bir temel bağlantısı, bir göndermesi

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

bu γ(s) üzerindeki liflerden γ(t) üzerine bu bir homojen uzayın izomorfizmidir: yani her g∈G için

${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

Paralel taşınımın ileri genellemesi ayrıca olasıdır.Ehresmann bağlantısının kavramları içinde, burada tanjant uzaylarının "yatay kaldırmasının" özel bir gösterimi üzerinde bağımlı bağlantısı, bir paralel taşınım yoluyla yatay kaldırma olarak tanımlanabilir.Cartan bağlantısı buu paralel taşınımını sağlayan Ehresmann bağlantısı ek yapısı ile manifold içinde belirli model uzayı boyunca bir gönderme "yuvarlanma" olsun.Bu yuvarlanmaya gelişme denir

Uygulama: Schild'in merdiveni

Schild'in merdiveninin iki basamağı. A₁X₁ parçası ve A₂X₂ A₀X₀ eğri boyunca paralel taşınımın ilk sırasına bir yaklaşıklıktır.

Paralel taşınım Schild'in merdiveni ile ayrıklanmış yaklaşıklık olabilir, Bununla bir eğri boyunca sonlu adımlar alınır, ve yaklaşıklık paralkenarın yaklaşıklığı ile Levi-Civita paralelkenarımsısı.

Ayrıca bakınız

• Eğri uzay-zamanın matematiğine temel giriş
• Bağlantı (matematik)
• Geliştirme (diferansiyel geometri)
• Afin bağlantı
• Kovaryant türev
• jeodezik (genel görelilik)
• Lie türevi
• Schild'in merdiveni
• Levi-Civita paralelkenarımsı

Kaynakça

• Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7 
• Knebelman (1951), "Spaces of relative parallelism", Annals of Mathematics, 2 (The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3) 53 (3): 387–399, DOI:10.2307/1969562, JSTOR 1969562 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 ; Volume 2, ISBN 0-471-15732-5.
• Lumiste, Ü. (2001), "Connections on a manifold", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/c/c025180.htm 

Dış bağlantılar

• Spherical Geometry Demo. An applet demonstrating parallel transport of tangent vectors on a sphere.