Toplam beklenti yasası

Toplam beklenti yasası, olasılık kuramında, yinelemeli beklenti yasası, kule kuralı, düzleştirme teoremi gibi çeşitli isimlerine de rastlanan öneri.

Bu oneriye gore: Eğer X; E( | X | ) < ∞ koşulunu sağlayan (yani entegrallenebilir) bir rassal değişken, ve Y (mutlaka entegrallenebilir olmayan) herhangi bir rassal değişken ise, aynı olasılık uzayında

${\displaystyle E(X)=E(E(X\mid Y)),}$

sağlanır.

Yani, X in Y bilindiğindeki koşullu matematiksel beklentisinin matematiksel beklentisi, X in matematiksel beklentisine eşittir.

Toplam olasılık yasası ile paralel bir önermedir. Bkz. Toplam varyans yasası, varyansın bileşenlerine ayrılması.

(Koşullu matematiksel beklenti E( X | Y ) nin kendisi Y nin değerine bağlı bir rassal değişkendir. Y = y olayı bilindiğine göre X in koşullu matematiksel beklenti değeri y nin bir fonksiyonudur. Eğer E( X | Y = y) = g(y) yazarsak, rassal değişken E( X | Y ) de; g(Y) olur. )

Ayrıklı halde kanıt

E[E[X | Y]] = Σ_y ( E[X | Y = y]P{Y = y} )

=Σ_y Σ_x ( xP{X = x | Y = y}P{Y = y} )

=Σ_y Σ_x ( xP{X = x, Y = y} )

=Σ_x x Σ_y P{X = x, Y = y}

=Σ_x xP{X = x}

=E[X]

Ayrıca bakınız

• Koşullu beklenti
• Toplam yığımlılık yasası
• Toplam varyans yasası
• Varyansın bileşenlerine ayrılması

Dışsal kaynaklar

• İngilizce Wikipedia "Law of total expectation" maddesi (İngilizce) (Erişim:10.7.2010)