Koşullu beklenti

Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Koşullu beklenti kavramı Rus matematikçi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmış olasılık kuramı'nın "ölçüm teorisi" ile tanımlanıp açıklanması sürecinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca stokastik sürecler incelemelerinde "martingal" konusu incelemesi için elzem bir kavramdır.

Giriş

X ve Y ayrık rassal değişken olsunlar. Bu halde "Y=y olayı, Y sahasında ynin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise X değişkenin Y=y koşullu beklentisi şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x|Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} [X=x,Y=y]}{\operatorname {P} [Y=y]}},}$

Burada ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ X değişkeninin istatistiksel açıklığını gosterir.

Bu sonucu Ynin bir sürekli rassal değişken olmasi haline de genişletmeye calışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(Y=y) = 0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkca ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilemesi mümkündür:

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y],}$

Her iki taraf da sıfır olup burada ynin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade Y sahasında bulunan her türlü ölçülebilir B altseti için geçerli olur; yani

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|Y=y]\operatorname {P} [Y=y]\ \operatorname {d} y=\int _{B}\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} [X=x,Y=y]\ \operatorname {d} y.}$

Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için yeterli şart olur.

Formel tanımlama

${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ bir gerçel rassal değişken X ve bir alt-sigma cebiri ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman bir verilmiş ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ için Xin koşullu beklentisi

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}](\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\int _{B}X(\omega )\ \operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )\qquad {\text{for each}}\quad B\in {\mathcal {B}}}$

ifadesini tatmin eden herhangi bir ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-ölçülebilir fonksiyon ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]:\Omega \to \mathbb {R} }$ olur.^[1]

Burada dikkat edilirse, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} [X|{\mathcal {B}}]}$ koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.

Tartışma

Verilen tanımlama üzerinde bazı noktalarin tartışılmasi gerekir:

• Bu yapıcı ve pratik bir tanımlama değildir. Sadece koşullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliğinin verilmesidir.
  • Gereken nitelik giriş kısmında verilen son ifadenin aynı şeklindedir.
  • Bir koşullu beklentinin var olması "Radon-Nikodym teoremi" adı verilen bir savla gösterilir ve bu sav X için (koşulsuz) beklenti değerinin var olması için de yeterli bir şart sağlar.
  • Sonucun tek olması "nerede ise kesinlik" ile gösterilebilir; yani aynı koşullu beklentinin verziyonları ancak "sıfır olasılık seti" için değişik olacaktır.
• Sigma cebiri ile tanımlanmış ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ kosullanmanin "taneli olmasini (granularity)" kontrol eder. Daha ince taneli σ-algebra ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ σ-cebiri daha genis turlu olaylar için kosullanmaya izin verir.
  • ${\displaystyle \scriptstyle ({\mathcal {Y}},\Sigma )}$ hal uzayli bir Y rassal degiskeni değerleri uzerinde bagimsizca kosullanma için Y ye gore Σnin "onsel-imaji (pre-image)"ni,yani

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma (Y)=\{Y^{-1}(S):S\in \Sigma \}}$

kullanarak kosullu beklenti tanimlama yeterlidir.

Bu kosullu beklentinin σ(Y)-olculebilir olmasini saglamay yeterli olur. Kosullu beklenti altinda yatan Ω olasilik uzayindaki olaylar uzerine kosullanmis olarak tanimlanmakla beraber, bunun σ(Y)-olculebilir olmasi gerekliligi (giriste gosterildigi gibi) ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ uzerinde kosullamaya imkân verir.

Kosullu olasilik tanimlanmasi

Herhangi bir istaistiksel olay ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ için su gosterge fonksiyonu tanimlansin:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

Bu "Borel σ-cebiri"ne gore [0,1] icinde bir rassal degişkendir, Bu rassal degiskenin beklentisi Anin olasiligina esirt olur:

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}]=\operatorname {P} [A].\;}$

Bu halde, 'verilmis ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ icin kosullu olasilik, eger

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$ ifadesinin A icin gosterge

fonksiyonunun kosullu beklentisi olmasi halinde

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}]:{\mathcal {A}}\times \Omega \to \mathbb {R} }$

olur; yani

${\displaystyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]=\operatorname {E} [\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {B}}]\;}$

Diger bir sekilde ifadeyle, ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}]}$

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} [A|{\mathcal {B}}](\omega )\,\operatorname {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} [A\cap B]\qquad {\text{for all}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}.}$

ifadesini tatmin eden ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$-olculebilir fonksiyondur.

Eger ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {P} [\cdot |{\mathcal {B}}](\omega )}$ ifadesi her ω ∈ Ω icin de bir olasilik olcusu ise, boyle bir kosullu olasilik duzgun olur. Bir duzgun kosullu olasiliga gore bir rassal degiskenin beklentisi onun kosullu beklentisine esittir.

Faktörleme olarak koşullandırma

Bu denklem su verilen gosterimin bir kumutatif gosterim oldugunu soylemek seklinde de yorumlanabilir:

            E(X|Y)= goY
  ────────────────────────────────> R 
        Y             g=E(X|Y= ·)
Ω ───────────>  R   ──────────────> R 
ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω))
                y   ──────────────> g(  y ) = E(X|Y=  y )

Denklemin anlamina gore X icin entegraller ve Unun bir altsetinde olculebilir B icin Y⁻¹(B) sekilideki setler icin ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=\ \cdot )\circ Y}$ bilesigi birbirine ozdestirler.

Bir alt-cebire koşullandıran relatif

N σ-alt-cebirlenin M σ-alt-cebiri ile kosullandirilmasi icin diger bir gorus sekli bulunmaktadir. Bu sekil onceden verilmis olan incelemenin basitce ozellestirilmis seklidir. U basit olarak, uzerinde N σ-cebirli ve Y ozdeslik tasarimi olan Ω uzayi oldugu kabul edilir. Sonuc soyle ifade edilir:

Teorem: X Ω uzerinde entegrali bulunan gercel rassal degisken ise, o halde P'ye oranla esdegerlilige uygunsa, tek bir ve tek su sarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur; bu sarta gore altcebir N icinde bulunan herhangi bir B seti icin

${\displaystyle \int _{B}X(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )=\int _{B}g(\omega )\ d\operatorname {P} (\omega )}$

olur. Burada g Nye gore olculebilir olur (ve bu X icin gerekli olan M icin olculebilir olma sartindan daha siki bir sarttir.)

Bu sekilde kosullu beklenti genellikle E(X|N) olarak yazilir. Bu sekil olasilik kurami uzerinde spesialize olan matemetikciler tarafindan tercih edilmektedir. Buna bir neden entegre edilebilir kare gercel rassal degiskenler uzayinda (yani sonlu ikinici momenti bulunan gercel rassal degiskenler icin)

X → E(X|N)

eşlenmesi kendine-eklenmis ortogonal projeksiyon olur.

${\displaystyle L_{\operatorname {P} }^{2}(X;M)\rightarrow L_{\operatorname {P} }^{2}(X;N).}$

Temel nitelikler

(Ω,M,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın:

• Bir σ-altcebirine gore kosullandirilirsa, N entegre edilebilir gercel rassal degiskenler uzayinda dogrusaldir.
• E(1|N) = 1
• Jensen'in esitsizligi gecerlidir: Eger f bir conveks fonksiyon ise, o halde

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X\mid N))\leq \operatorname {E} (f\circ X\mid N).}$

• Bir daralan pojeksiyona gore kosullandilirsa herhangi bir s ≥ 1 icin

${\displaystyle L_{P}^{s}(X;M)\rightarrow L_{P}^{s}(X;N)}$

olur.

Ayrıca bakınız

• Toplam olasılık yasası
• Toplam beklenti yasası

Dışsal kaynaklar

• Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi (İngilizce) (Erişme:10.7.2010))
• William Feller, (1950), An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,, Wiley. (İngilizce)
• Meyer, Paul A.,(1956) Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co. (İngilizce)
• Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), Probability and Random Processes, Oxford:Oxford University Press ISBN 0-19-857222-0 (İngilizce)

Kaynakça

1. Loève, Michel (1978), Probability Theory vol. II (4th ed.). Springer. ISBN 0-387-90262-7., "Chapter 27. Concept of Conditioning" say. 7 (İngilizce)