En Az Eylem İlkesi

En az eylem ilkesi diğer bi adıyla minimum eylem prensibi, mekanik sistemlerdeki eylem kavramına varyasyon prensipleri uygulandığında hareket denklemlerinin bulunması esasına dayanır. Görelilik teorisinde, göreli etkiler fiziksel olarak dahil oldukları için, klasik mekanik sistemlere göre farklı eylem fonksiyonları tanımlanmalıdır. Bu prensip, Newton, Lagrange ve Hamilton ve görelilik prensiplerini ve onlardan çıkartılan hareket denklemlerini türetmek için kullanılır. “En az” kavramı çözümlerde iki nokta arasındaki yollardan; çevre yollara göre değişimin en az olduğu yolu bulma problemi irdelendiği için kullanılır.^[1] Bu prensibin klasik mekanik ve elektromanyetik prensipleri kuantum mekaniğinin dolayısıyla da en az eylem ilkesinin sonuçlarına dayanır. En az eylem ilkesi ve varyasyon prensipleri, kuantum mekaniğini de geliştirmiş olan doğanın en kapsamlı temel davranış yasalarını içerir.^[2]

Bu prensip modern fiziğin ve matematiğin merkezinde yer almış ve görelilik teorisi, kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi gibi genel alanlarda etkin olarak kullanılmıştır. Ayrıca modern matematikte Morse teorisi ile ilişkili çalışmıştır. Maupertuis prensibi ve Hamilton prensibi de daha genel olan en az eylem ilkesinin birer alt örnekleridir.

Eylem prensibi matematiksel olarak geliştirilmesinden önce topoğrafi ve optik gibi alanlarda aslında gözlemleniyordu. Antik mısırda, ipler etkili şekilde gerilerek iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmekte kullanılıyordu. Çünkü bu durumda ipler, potansiyel enerjilerini en aza indirgeyecek şekilde davranış gösteriyorlardı. Ayrıca, ışığın kırınımında da benzer davranış gözükmektedir. Işık, farklı indislere sahip ortamlar boyunca ilerlerken farklı hızlara sahip olur ve bu farklı hızlarla karşı bir noktaya gitmek istediğinde bunu mümkün olabilecek en kısa yoldan yapar. Bu basit prensibi, geometrik olarak ispatlarken rahatça görelilik esasları ve temel kuantum mekaniği davranışları gözlenebilir. Esasen, ışığın ve elektronların davranışları bu temel fiziksel yasanın ve genel ve uzay-zaman/eğrisel geometrinin prensiplerinin bir sonucudur. Geçmişte ise maddelerin yapmaları gereken işleri en kısa yoldan(değişkenden) yaptıkları temel Öklid geometrisi gibi matematiksel yapıları kullanarak gözlenip gösterilebiliyordu.

Genel olarak bilim insanları, 1744^[3]-1746^[4] arasında, en az eylem ilkesinin ilk formülasyonunu Pierre Louis Maupertuis’e atfederler. Ancak Euler bu prensipten 1744’de^[5] çeşitli yayınlarında bahsetmiş ve Leibniz de bu tartışmalarda yer almıştır.^[6][7][8]

1932’de Paul Dirac aynı prensiplerin kuantum mekaniğindeki geçerliliğini ve etkilerini gözlemlemiştir.

Genel ifade

Eylem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ , Lagrange mekaniği L nin iki an arasındaki zamana göre integraline verilen isimdir. Teknik olarak eylem, fonksiyonların fonksiyonu yani bir fonksiyoneldir ve N tane genelleştirilmiş q koordinatına bağlıdır ve q = (q₁, q₂ ... q_N) de sistemin konfigürasyon uzayını tanımlamaktadır.

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t)dt}$

Matematiksel olarak;^[9][10][11]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$

olarak ifade edilebilir.Delta (δ) ise burada diferansiyel değişimleri ifade eder.^[12]]]

En az eylem ilkesinin ortaya çıkışı

Fermat

1600’lerde Pierre de Fermat, ışığın iki nokta arasında gideceği zaman; en az sürede bu işi yapacağını öne sürmüştü. Buna en az zaman ilkesi veya Fermat Prensibi de denir.^[11]

Maupertuis

En az eylem ilkesi tam olarak Pierre Louis Maupertuis tarafından tanımlanmıştır. Maupertuis doğanın herhangi bir olay sırasında tutumlu davrandığını düşünmüş ve bu düşüncesini genelleştirmiştir:

"Hareket yasaları ve ondan türetilenler veya başka şekilde gözlenenler esasında doğanın aynı esaslarına dayanır. Hayvanların hareketlerini, bitkilerin büyümelerini gözlemlediğimizde hepsi en az eylem ihtiyacının bir sonucudur."

—  Pierre Louis Maupertuis^[13]

Günümüzde bu söz deterministik kalsa da, mekaniğin özünü çok iyi ifade etmektedir.

Bu prensip fiziğe uygulanırken, Maupertuis, minimize edilmesi gereken niceliğin zamanında "vis viva" olarak ifade edilen kinetik enerji ile zamanın çarpım integrali olduğunu ifade etmiştir.

${\displaystyle \delta \int 2T(t)dt=0}$

Bu, kinetik enerji ve zamanın çarpımının iki kere integrale alınmasından ibarettir.

Euler

Leonhard Eulerise 1744’de bir formülasyon vermiştir ve bu formülasyonda , Lagrange gibi fonksiyonlar yerine alışılagelmiş ifadeler kullanılmaktadır.Additamentum 2 to his Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes‘de ikinci paragrafta;

“	M kütleli bir parçacığın v hızı ile diferansiyel ds uzaklığı boyunca gittiğini düşünelim. Kütle, Mv kadar bir çizgisel momentuma sahip olacaktır. Momentum,ds uzaklığı ile çarpıldığında bize Mv ds verir. Bu moementum ds boyunca integre edilebilir. Bu eğri aynı yer değiştirme noktaları için birden çok ihtimal verebilir ama prensibe göre bu eğrilerden birinin diğerlerine göre değişimi minimum olmalıdır ve burada minimize edilmesi istenen nicelik Mv ds’dir ve bu da ; ${\displaystyle \int Mv\,ds}$ integralinin minimize edilmesi demektir.	”
—Leonhard Euler[5][14],

Dolayısıyla;

${\displaystyle \delta \int p\,dq=0}$

olarak bulunur ve modern fizikte bu indirgenmiş eylem olarak tanımlanır. Dolayısıyla, Euler denk ama bağımsız bir tanım yapmış ve varyasyon prensibini Maupertuis ile aynı yıllarda tanımlamıştır.

Eklemeler

Euler bu konu üzerinde Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748) kitabında daha çok çalıştı ve eylemi "efor" olarak ifade etti. O zamanki tanımları şimdi potansiyel enerji olarak adlandırılabilecek tanımlarla eşdeğerdi. Dolayısıyla, Euler’in en az eylem ilkesi statikte çeşitli gövdelerden oluşan bir sistemin toplam potansiyel enerjisini en aza indirgeyecek şekilde dengeye geldiği gibi bir sonuç türetmede kullanılabilir.

Lagrange ve Hamilton

Değişimler hesabının modern temelleri Joseph Louis Lagrange tarafından 1760’da atıldı^[15][16] ve dinamik problemlerine uygulanabilir hale geldi. Lagrange’ın Méchanique Analytique (1788) kitabında mekanik sistemlerin hareket denklemleri türetilmiştir.^[17] William Rowan Hamilton in 1834 and 1835 ^[18] varyasyon ilkelerini Lagrange fonksiyonuna uygulayarak Euler-Lagrange denklemlerini elde etmiştir:

${\displaystyle L=T-V}$

Jacobi ve Morse

1842’de Carl Gustav Jacobi iki boyutlu, jeodezikler ve keseller üzerine çalışmış ve bu tip fonksiyonların maksimum ve minimumları üzerine düşünmüştür.^[19] Marston Morse tarafından da bu fikirler üzerine Morse teorisi geliştirilmiştir.

Gauss ve Hertz

Hertz’in en az kavislik ilkesi de Gauss’un harekette en az kısıt ilkesinin bir sonucudur.

En az eylem ilkesinin kapsamı

Richard Feynman’a göre, en az eylem ilkesi matematiksel olarak Newton’un 2. Yasasından daha spesifik ve çok daha kapsamlıdır. Çünkü sadece mekanik harekette değil neredeyse tüm fiziksel yasalarda geçerliliğini korur ve uygulanabilir. Ayrıca, Newton’un ikinci yasasından en az eylem ilkesi türetilebilir ancak tam tersi yapılamaz. Bunun yapılması için ancak Newton’un 1. Ve 3. Yasalarının da korunumsuz kuvvetlerin olmadığı ortamlarda türetilmeye dahil edilmesi gerekir.En az eylem ilkesi momentum’un ve enerjinin korunumunu da türetmede kullanılabilir. Elbette uzayda ve zamanda sistemin simetrisi bulunuyorsa bu mümkündür.^[20]

En az eylem ilkesindeki sorun, korunumsuz kuvvetlerin kullanımının dinamiğe katılmasındaki zorluklardır. Newton yasaları ise bu konuda daha güçlüdür ve eğer kuvvetler korunum sahibi ise rahatlıkla birbirlerinden 2 yasa da türetilebilir.

Ayrıca bakınız

• Aksiyon (fizik)
• Analitik Mekanik
• Lagrange Mekaniği
• Ockham'ın Usturası

Kaynakça

1. Chapter 19 of Volume II, Feynman R, Leighton R, and Sands M. The Feynman Lectures on Physics . 3 volumes 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717. ISBN 0-201-02115-3 (1970 paperback three-volume set); ISBN 0-201-50064-7 (1989 commemorative hardcover three-volume set); ISBN 0-8053-9045-6 (2006 the definitive edition (2nd printing); hardcover)
2. "The Character of Physical Law" Richard Feynman
3. P.L.M. de Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles. (1744) Mém. As. Sc. Paris p. 417. (English translation)
4. P.L.M. de Maupertuis, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Berlin, p. 267.(English translation)
5. Leonhard Euler, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Bousquet, Lausanne & Geneva. 320 pages. Reprinted in Leonhardi Euleri Opera Omnia: Series I vol 24. (1952) C. Cartheodory (ed.) Orell Fuessli, Zurich. scanned copy of complete text at The Euler Archive, Dartmouth.
6. J J O'Connor and E F Robertson, "The Berlin Academy and forgery", (2003), at The MacTutor History of Mathematics archive.
7. Gerhardt CI. (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, I, 419-427.
8. Kabitz W. (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, II, 632-638.
9. Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
10. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
11. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
12. R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. s. 474. ISBN 0-679-77631-1. 
13. Chris Davis. Idle theory (1998)
14. Euler, Additamentum II (external link), ibid. (English translation)
15. D. J. Struik, ed. (1969). A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Cambridge, Mass: MIT Press.  pp. 406-413
16. Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-501496-0.  pp. 582-589
17. Lagrange, Joseph-Louis (1788). Mécanique Analytique.  p. 226
18. W. R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308; Part II (1835) p. 95-144. (From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland. (2000); also reviewed as On a General Method in Dynamics)
19. G.C.J. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842-1843. A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlin. 290 pages, available online Œuvres complètes volume 8 at Gallica-Math from the Gallica Bibliothèque nationale de France.
20. "The Principle of Least Action" Richard Feynman