Hipergeometrik dağılım

Hipergeometrik

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,}$
Destek	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle nm \over N}$
Medyan
Mod	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Varyans	${\displaystyle n(m/N)(1-m/N)(N-n) \over (N-1)}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan seri halinde birbiri arkasından n tane nesnelerin çekilmesi şeklinde bir işlem için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler.

Bir tipik örnek, iki kategorik değişkeni sınıflandiran bir olumsallık tablosunda gösterilebilir:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Hatalı	k	m − k	m
Hatasız	n − k	N + k − n − m	N − m
Toplam	n	N − n	N

Eğer içinde m sayıdan daha fazla hatalı mal birimi olmadığını kabul ettiğimiz N sayıda mal birimini ihtiva eden bir mal teslimi yapılmıştır. Bu N sayıdaki mal birimi içinden tam n sayıda bir örnek alınıp bunlar test kontrolünden geçilirilirse bu örnek içinde tam k tane hatalı mal birimi bulunacağı hipergeometrik dağılım ile açıklanır.

Genel olarak: Eğer bir rassal değişken X rassal değişkeni N, m ve n parametreleri olan bir hipergeometrik dağılım gösterirse, tam olarak k sayıda başarı elde edilmesi, şu fonksiyonla bulunur:

${\displaystyle f(k;N,m,n)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

k değeri max(0, n+m−N) ile min(m, n) arasında olursa olasılık pozitifdir.

Bu formül şöyle daha da açıklanabilir: (Geri koyulmadan) alınabilmesi mümkün örnek sayısı ${\displaystyle {\tbinom {N}{n}}}$ olur. Hatalı nesne sayısının k olması için ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$ sayıda alternatif bulunur; örneğin geride kalan kısmınin hatasız nesnelerle doldurulması için de ${\displaystyle {\tbinom {N-m}{n-k}}}$ alternatif mevcuttur.

k 0 ve N arasında her tamsayı değeri alabildiği için ve olasılık değerlerinin toplamı 1 olduğu için, bu kombinatorik matemetik kuramına göre Vandermonde'nin özdeşliğidir.

Uygulama ve bir örnek

Hipergeometrik dağılımın klasik uygulaması geri koymadan örnekleme adı verilebilen bir denemedir. Bir küp problemi düşünülsün: bir küpün içinde iki tip küçük top, beyaz ve siyah, bulunduğu düşünülsün. Aynen bir binom dağılımı için yapılan deneme gibi, küpten bir beyaz top çekmeye başarı adı verilsin ve alternatif olan siyah top çekmek başarısızlık sayılsın. N küpte bulunan toplam top sayısı, m küpteki beyaz top sayısı ve böylece N − m ise küpteki siyah top sayısı olsun. Şimdi küpün içinde 5 beyaz ve 45 siyah top olduğu varsayılsın. Gözleri kapalı olarak küpten birer birer 10 tane top çekilsin ve her çekilen top küpe geri konulmasın. Bu deneme geri koyulmadan örnekleme olur.

Araştırmayı ilgilendiren soru: Bu çekişte küpten tam 4 tane beyaz top çekme (yani ima ile 6 tane de siyah top çekme) olasılığı nedir? Buna binom dağılım modeli uygulanamaz; çünkü her çekilişte başarı olasılığı değişmektedir. Bu problem iki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosunda şöyle özetlenebilir:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	4 (k)	1 = 5 − 4 (m − k)	5 (m)
Siyah toplar	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − m)	45 (N − m)
Toplam	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Küpten tam olarak k tane beyaz top çekmenin olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanir:

${\displaystyle \Pr(K=k)=f(k;N,m,n)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

Bu problem için k = 4 olduğundan 4 tane beyaz top (ve 6 tane siyah top) çekme olasılığı

${\displaystyle \Pr(K=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}=0.003964583\dots .}$

çok düşük bir değerde (yaklaşık 0,004) olup, olabilirliği nerede ise sıfıra eşittir. Bu bir değişik ifade ile açıklanırsa bu rassal deneme (yani içinde 50 top bulunan bir küpten 10 tane top çekip hiçbirini geri koyulmamasi denemesini) 1000 defa tekrarlanırsa 4 beyaz (ve 7 siyah) top elde etmek ancak 4 defa ortaya çıkan bir sonuç olacaktır.

Bu sefer küpten 5 tane beyaz (ve 5 tane siyah) top çekme olasığına göz atılsın. İki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosu şöyle kurulur:

	Çekilmiş	Çekilmemiş	Toplam
Beyaz toplar	5 (k)	0 = 5 − 5 (m − k)	5 (m)
Siyah toplar	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − m)
Toplam	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Olasılık şöyle hesaplanabilir (Dikkat edilirse paydalar hep aynıdır):

${\displaystyle \Pr[K=5]=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}=0.0001189375\dots ,}$

Beklendiği gibi 5 beyaz top çekme olasılığı, 4 beyaz top çekme olasılığının çok daha altındadır.

Simetriler

Hipergeometrik dağılımda n ve m parametreleri arasında çok önemli simetriler vardır. Bu simetriler verilen küp problemi için önemli değil gibi görünmektedirler. Gercekten verilen bazı hipergeometrik dağılım gösteren problemlerde n ve m parametreleri hiçbir problem olmadan birbiriyle değiştirilebilir. Ancak hayat/ölüm sorunlarına hipergeometrik dağılım uygulanmaya başlayınca önemleri anlaşilabilir.

Parametreler olan n ve m arasindaki simetriler şöyle siralanbilirler:

• Bu halde siyah ve beyaz en basitce rol değişstirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(n − k;N,N − m,n)

Bunu daha kolay anlamak için siyah toplar beyaza; beyaz toplar siyaha boyanınca neyin değiştiğıni düşünmek gerektir.

• Bu halde çekilmiş ve çekilmemiş toplar rol değiştirmektdirler.

f(k;N,m,n) = f(m − k;N,m,N − n)

• Bu simetriyi anlamak icin topları çekme hareketini unutup, zaten çekilmiş olan toplara dikkat

çekilmektedir ve zaten çekilmiş olan toplara etiket yapıştırma işlemine benzer:

f(k;N,m,n) = f(k;N,n,m)

İlişkili dağılımlar

X ~ Hypergeometrik(${\displaystyle m}$, $N$, ${\displaystyle n}$) ve ${\displaystyle p=m/N}$ olsun.

• Eğer ${\displaystyle n=1}$ ise ${\displaystyle X}$ rassal değişkeni ${\displaystyle p}$ parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir.
• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ ile karşılaştırılınca $N$ ve ${\displaystyle m}$ büyük değerlerde iseler, o halde

${\displaystyle P[X\leq x]\approx P[Y\leq x]}$

Burada ${\displaystyle Y}$ rassal değışkeni parametreleri ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ olan bir binom dağılım gösterir.

• Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan ${\displaystyle n}$ ve ${\displaystyle p}$ ile karşılaştırılınca $N$ ve ${\displaystyle m}$ büyük değerlerde iseler, o halde

${\displaystyle P[X\leq x]\approx \Phi \left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}$

Burada ${\displaystyle \Phi }$ bir standart normal dağılım gösterir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Binom dağılımı
• Fisher'in kesinlik testi
• Merkezsel olmayan hipergeometrik dağılımlar
• Örnekleme
• Küp problemi
• Kupon toplayicının problemi
• Hipergeometrik fonksiyon

Kaynak

Dışsal bağlantılar

• Hipergeometrik dağılım hesaplayıcısı
• Yazılım (C++ ve Ruby) kaynakları ile hipergeometrik dağılım hesaplayıcısı