Lie gruplarının tablosu
Bu yazıda bazı yaygın Lie grupları ve bununla ilişkili Lie cebirleri tablosu verilmiştir. Aşağıda belirtilenler: Grupların topolojik özellikleri (boyutu; bağıntılılık; tamlık;Temel grup'un doğası; ve basit bağlantı olup olmamasıdır) yanı sıra cebirsel özellikleri de vardır (değişmeli; basit; yarıbasit). Basit Lie gruplarının listesinin diğer ilgili konuları ve Lie gruplarının daha fazla örneğini görmek için;üç boyut üstündeki grupların Bianchi sınıflandırması ; ve Lie grup konularının listesi ne bakılmalıdır.
Gerçek Lie grupları ve bunların cebri
sütun gösterge
- CM:bu grup G tam? (Evet veya Hayır)
- : G'nin bileşenlerin grupları verir. Bileşen grubunun yerine bağlantılı bileşenler. nın sayılarını verir.Bu grup bağlantı yalnız ve yalnız bileşen grubu önemsiz ( 0 ile ifade edilir)dır
- : G'nin temel grup verdiğinde G bağlantılıdır. Bu grup yalın bağlantı yalnız ve yalnız temel grup önemsiz (0 ile ifade edilir)dir
- UC: Eğer G sade bağlantılı değilse, G'nin evrensel örtük'ünü verir.
Lie grubu | Tanımı | CM | UC | Açıklamalar | Lie cebiri | boyut/R | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Rn | Öklid uzayı ile toplama | N | 0 | 0 | değişmeli | Rn | n | |
R× | nonzero real numbers ile çarpım | N | Z2 | – | değişmeli | R | 1 | |
R+ | pozitif gerçel sayılarla çarpım | N | 0 | 0 | değişmeli | R | 1 | |
S1 = U(1) | çember grubu:mutlak değer 1'in karmaşık sayılar'ı , ile çapım; | Y | 0 | Z | R | değişmeli,SO(2)'ya izomorfiktir, Spin(2), ve R/Z | R | 1 |
Aff(1) | tersinebilir afin dönüşümler R den R.ye | N | Z2 | 0 | çözünebilen,R+'nin yarıdoğrudan çarpımı ve R× | 2 | ||
H× | sıfır-olmayan dördey'ler ile çarpım | N | 0 | 0 | H | 4 | ||
S3 = Sp(1) | mutlak değer 1'in dördey , ile çarpım; topolojik bir 3-küre | Y | 0 | 0 | SU(2) ye izomorfiktir ve Spin(3) ye; SO(3)'ün çift örtüsü | Im(H) | 3 | |
GL(n,R) | general linear group: tersinebilir n×n gerçel matrisler | N | Z2 | – | M(n,R) | n2 | ||
GL+(n,R) | n×n gerçel matrisler ile pozitif determinant | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
GL+(1,R) R+ ye izomorfiktir ve yalın bağlantıdır | M(n,R) | n2 | |
SL(n,R) | özel doğrusal grup: gerçel matris ile determinant 1 | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
SL(1,R) bir yalın nokta ve bu nedenle tam ve basit bağlantıdır | sl(n,R) | n2−1 | |
SL(2,R) | Poincaré yarı-düzlemi'nin yönelim koruyucu izometrilerinde,SU(1,1)'ya izometrik,Sp(2,R)'ya izometriktir. | N | 0 | Z | evrensel örtü sonlu-boyutla bağlı gösterimler yoktur | sl(2,R) | 3 | |
O(n) | dik grup: gerçel dik matrisler | Y | Z2 | – | küre'nin simetri grubu (n=3) veya hiperküre. | so(n) | n(n−1)/2 | |
SO(n) | özel dik grup: gerçek dik matrisler ile determinant 1 | Y | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
Spin(n) n>2 |
SO(1) bir tekil nokta ve SO(2) çember grubu'na izomorfiktir, SO(3) kürenin rotasyon grubudur. | so(n) | n(n−1)/2 |
Spin(n) | spin grubu: SO(n)'un çift örtüsü | Y | 0 n>1 | 0 n>2 | Spin(1) Z2 ye izomorfiktir ve bağlantılı değildir; Spin(2) çember grubuna izomorf ve sade bağlantılı değil | so(n) | n(n−1)/2 | |
Sp(2n,R) | simplektik grup: gerçel simplektik matrisler | N | 0 | Z | sp(2n,R) | n(2n+1) | ||
Sp(n) | tıkız simplektik grup: dördeysel n×n birimsel matris | Y | 0 | 0 | sp(n) | n(2n+1) | ||
U(n) | birim grup: karmaşık n×n birimsel matris | Y | 0 | Z | R×SU(n) | n=1 için :S1 ya izomorfik. Not:bu karmaşık bir Lie grubu ve cebir değil | u(n) | n2 |
SU(n) | özel birimsel grup: karmaşık n×n birim matrisler ile determinant 1 | Y | 0 | 0 | Not: bu bir karmaşık Lie grubu/cebiri değil | su(n) | n2−1 | |
Gerçek Lie cebri
gösterge Tablosu:
- S:bu cebir yalınmı? (Evet veya Hayır)
- SS:bu cebir yarı-yalınmı? (Evet veya Hayır)
Lie cebiri | Tanımı | S | SS | Açıklamalar | boyut/R |
---|---|---|---|---|---|
R | bu gerçel sayı, bu Lie braket sıfırdır | 1 | |||
Rn | Lie braketi sıfırdır | n | |||
R3 | Bu Lie braketi çapraz çarpım'ıdır | 3 | |||
H | dördeyler, değişmeli Lie braketi ile | 4 | |||
Im(H) | Sıfır gerçel kısmı ile dördeyler,Lie braket komütatörü ile;Gerçek 3-vektörleri izomorftur,
Lie braketi ile çapraz çarpım; ayrıca su(2)'ya izomorfik ve so(3,R)'ye |
Y | Y | 3 | |
M(n,R) | n×n matrisi,Lie braketi ile komütatörü | n2 | |||
sl(n,R) | kare matrisler ile iz 0, Lie braketi ile komütatörü | Y | Y | n2−1 | |
so(n) | çarpık-simetrik kare gerçel matrisler, ile Lie braket komutatörü. | Y | Y | istisna: so(4) yarı-yalın, ama basit değil. | n(n−1)/2 |
sp(2n,R) | gerçel matrisler bu JA + ATJ = 0 uygundur.bu J çarpık-simetrik matris standarttır | Y | Y | n(2n+1) | |
sp(n) | kare dördeyik matrisler A uygundur A = −A*, ile Lie braketi ile komütatörü | Y | Y | n(2n+1) | |
u(n) | kare karmaşık matrisler A uygundur A = −A*, Lie braketi ile komütatörü | n2 | |||
su(n) n≥2 |
kare karmaşık matrisler A ile iz 0 uygundur A = −A*, Lie braketi ile komütatörü | Y | Y | n2−1 | |
Karmaşık Lie grupları ve bunların cebiri
Bu verilen boyut C üzerinde boyuttur. Her karmaşık Lie grubu/cebiri de iki boyutun gerçek bir Lie grubu/cebri olarak görülebilir unutmayın.
Lie grubu | Tanımı | CM | UC | Açıklamalar | Lie cebiri | boyut/C | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cn | grup operasyon toplamıdır | N | 0 | 0 | değişmeli | Cn | n | |
C× | sıfır-olmadan karmaşık sayılar ile çarpım | N | 0 | Z | değişmeli | C | 1 | |
GL(n,C) | genel doğrusal grup: tersinebilir n×n karmaşık matrisler | N | 0 | Z | n=1: için C× ye izomorfik | M(n,C) | n2 | |
SL(n,C) | özel doğrusal grup: kompleks matrisler ile determinant
1 |
N | 0 | 0 | n=1 için bu tek bir noktadan ve böylece tamdır. | sl(n,C) | n2−1 | |
SL(2,C) | SL(n,C)'in özel durumu n=2 için | N | 0 | 0 | Spin(3,C)'e izomorfik,Sp(2,C)'a izomorfiktir | sl(2,C) | 3 | |
PSL(2,C) | İzdüşümsel özel doğrusal gruptur | N | 0 | Z2 | SL(2,C) | Möbius grubu'na izomorfik,sınırlı Lorentz grubu SO+(3,1,R)'e izomorfik,SO(3,C)'ya izomorfiktir. | sl(2,C) | 3 |
O(n,C) | dik grup: karmaşık dik matrisler | N | Z2 | – | n=1 için tıkız | so(n,C) | n(n−1)/2 | |
SO(n,C) | Özel dik grup: belirleyici 1 ile karmaşık dik matrisler | N | 0 | Z n=2 Z2 n>2 |
SO(2,C) değişmelidir ve C×ye izomorfiktir; n>2. SO(1,C) için değişmeli olmayan tek bir noktadan ve böylece kompakt ve basit bağlantılıdır | so(n,C) | n(n−1)/2 | |
Sp(2n,C) | simplektik grup: karmaşık simplektik matrisler | N | 0 | 0 | sp(2n,C) | n(2n+1) | ||
Karmaşık Lie cebiri
Verilen boyutlar C üzerinde boyutlarıdır. Unutmadan; her karmaşık Lie cebiri de iki boyutlu gerçek bir Lie cebri olarak görülebilir.
Lie cebiri | Tanımı | S | SS | Açıklamalar | boyut/C |
---|---|---|---|---|---|
C | karmaşık sayılar | 1 | |||
Cn | Lie braket sıfırdır | n | |||
M(n,C) | n×n matrisler, ile Lie braketi ile komütatörü | n2 | |||
sl(n,C) | kare matrisler ile iz 0,Lie braketi ile komütatörü | Y | Y | n2−1 | |
sl(2,C) | sl(n,C) nin özel durumu n=2 ile | Y | Y | su(2)'ye izomorfik C | 3 |
so(n,C) | çarpık-simetrik kare karmaşık matris, ile Lie braketi
komutatörü |
Y | Y | istisna: so(4,C) yarı-yalın, ama yalın değil. | n(n−1)/2 |
sp(2n,C) | karmaşık matrislere bu uygundur JA + ATJ = 0
burada J standard çarpık-simetrik matris'tir |
Y | Y | n(2n+1) | |
Kaynakça
- Şablon:Fulton-Harris