Skewes sayısı

Sayılar teorisinde, Skewes' sayısı, birkaç çok büyük sayıdan biridir. Güney Afrikalı matematikçi Stanley Skewes tarafından bulunan ve en küçük x doğal sayılarının üst sınırlarını belirleyen şöyle bir ifadedir:

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

buradaki π(x), asal hesaplama fonksiyonu ve li(x) is the logaritmik integral fonksiyonudur. Bu sınırlar geliştirildi: ${\displaystyle e^{727,952}}$ bir geçiş noktasıdır.

Skewes sayıları

Skewes'ın öğretmeni olan John Edensor Littlewood, 1914'de [[Littlewood'da, büyük bir sayı olduğunu ve π(x) − li(x) fark işaretinin son derece sık değişdiğini kanıtladı. Sonradan tüm sayısal deliller, π(x)'nin daima li(x)'den daha az olduğunu gösterdi.

1933'de Skewes, Riemann hipotezinin doğruluğunu ve x gibi bir sayının π(x) < li(x)'i ihlal ettiğini aşağıdaki şekilde ispatladı;

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

1955'de Skewes, Riemann hipotezini varsaymaksızın. x gibi bir değerin olduğunu şöyle ispatladı;

${\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}.}$

Her iki Skewes sayıları, matematiksel delillerdeki çoğu büyük sayılarla karşılaştırıldığında onlardan büyüktür ve neredeyse Graham sayısı kadardır.

Son tahminler

Bu devasa üst sınırlar, Rieman zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla büyük ölçekli bilgisayar hesaplamalarını kullanarak epeyce azaltıldı. Keşisme noktasının geçerli değerini için ilk yaklaşım 1966'da Lehman tarafından yapıldı. Lehman, 1,53×10¹¹⁶⁵ ile 1,65×10¹¹⁶⁵ arasında, 10⁵⁰⁰ ardışık x tam sayıları olduğunu π(x) > li(x) ile gösterdi. Riemann hipotezini kullanmadan Herman te Riele, 2000 yılında 7×10³⁷⁰ şeklinde bir üst sınır olduğunu ispatladı.

Riemann formülü

Riemann, π(x) için şöyle bir formül geliştirdi;

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\frac {\operatorname {li} ({\sqrt {x}})}{2}}-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{ ufak terimler }}}$

buradaki toplama, Rieman zeta fonksiyonunun ρ sıfırlarından fazladır. π(x) = li(x) (eğer Riemann hipotezi doğruysa) En büyük hata terimi yaklaşımındaki en büyük hata terimi ${\displaystyle {\operatorname {li} ({\sqrt {x}})}/2}$'dir. li(x), genellikle π(x)'den daha büyüktür. Yukarıdaki diğer terimler biraz daha küçüktür.

Rieman hipotezinin yanlış olduğu varsayılırsa, argüman çok basit olur. li(x^ρ) terimlerinden dolayı, sıfırlal ihlal edilirse, Riemann hipotezi (gerçek bölüm 1/2'den daha büyüktür), nihayet li(x^1/2)'den büyük olur.

Dış bağlantılar

• Demichel, Patrick (2005) (PDF), Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular, 3.1415, Google, http://sites.google.com/site/dmlpat2/li_crossover_pi.pdf, erişim tarihi: 2007 November 4  π(x) − li(x) farkının birçok grafiklerini içeriyor.

Patrick Demichel. Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular. http://web.archive.org/web/20060908033007/http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf 20.09.2009'da gözden geçirildi