Büyük sayılar

Büyük sayılar, gündelik yaşamda normalde kullanılmayan büyük sayıları ifade eder. Terim genellikle büyük pozitif tam sayıları veya daha genel anlamda büyük pozitif reel sayıları belirtir. Fakat, diğer anlamlar için de kullanılabilir.

Çok büyük sayılar matematik, kozmoloji, kriptografi ve istatistiki mekanik gibi alanlarda kullanılır. Bazı insanlar sayıları "astronomik olarak büyük" şeklinde söyler. Yine de gökbiliminde kullanılan çok büyük sayıları bile matematiksel olarak tanımlamak kolaydır.

Büyük ve küçük sayıları ifade etmek için bilimsel gösterimi kullanma

Ayrıca bakınız: bilimsel gösterim, logaritmik ölçek ve büyüklük sırası

Bilimsel gösterim, bilimsel çalışmalarda karşılaşılan birçok değeri ifade etmek için oluşturuldu. Örneğin 1,0 × 10⁹, bir milyar demektir. 1 rakamından sonra 9 tane sıfır kullanılır ve 1 000 000 000 şeklinde yazılır. Benzer şekilde 1,0 × 10⁻⁹, milyarda bir demektir ve 0,000 000 001 şeklinde yazılır. Dokuz tane sıfır yerine 10⁹ yazma, hem okuyucular fazla zahmet çekmemiş olur hem de çok fazla sıfırın bulunduğu uzun serilerdeki sayıların karıştırılma ihtimali azalmış olur.

Büyük sayılar her an yanımızda

Her gün gerçek dünyada kullandığımız bazı nesnelerin büyük sayı ile ilişkili örnekleri:

• 500-1000 GB'lık bilgisayar sabit diskinin bit sayısı (normal olarak yaklaşık 10¹³)
• insan vücudundaki hücrelerin sayısı (10¹⁴'den fazla)
• insan beynindeki nöronların sayısı (tahmini 10¹⁴)
• Avogadro sayısı, bir moldeki "öz varlıklar"ın (genellikle atom veya molekül) sayısı. 12 gram Karbon-12'deki atom sayısı; (yaklaşık olarak 6,022 × 10²³ bölü mol)

Astronomik olarak büyük sayılar

Uzunluk ve zaman bakımından nitelendirilen diğer büyük sayılar, astronomi ve kozmoloji'de bulundu. Örneğin, Büyük Patlamadan bu yana kainatın 13,7 milyar (4,3 × 10¹⁷ saniye) yaşında olduğu öne sürülüyor. Gözlemlenebilir evren 93 milyar ışık yılı, (8,8 × 10²⁶ metre) genişliğindedir ve yaklaşık 125 milyar (1,25 × 10¹¹) galaksi içindeki 5 × 10²² yıldızdan oluşur. Bunlar Hubble Uzay Teleskobu gözlemine göredir. Gözlemlenebilir evrende kabaca 10⁸⁰ temel parçacık vardır.

Kanada'daki Alberta Üniversitesi fizikçilerinden Don Page'e göre, bir fizikçi tarafından açıkça hesaplanan en uzun zaman, 10^101010101.1 yıldır.

Kombinatorik işlemler de hızlıca büyük sayılara doğru gider. Karışık düzendeki nesnelerin permütasyonlarının sayısını açıklayan faktöriyel fonksiyonu, nesne sayısına göre çok hızlı bir şekilde artar. Stirling yaklaşımı, bu şekilde büyümeyi asimtotiktik şekilde ifade ederek bir ipucu verir.

Kombinasyonel işlemler, istatistiki mekanikte çok büyük sayıları üretir. Bu sayıların çok büyük olmalarından dolayı, normalde sadece kendi logaritmalarında kullanılırlar.

Gödel sayıları ve benzer sayılar, algoritmik bilgi teorisinde bit betiklerini ifade etmek için kullanılır.

Bilgisayarlar ve hesapsal karışıklık

Moore Yasası, genel olarak bir mikroişlemcinin her bir inçkaresindeki transistör sayısının her 18 ayda iki katına çıkacağı tahminine dayanır. Bu, insanlara, bilgisayarların herhangi bir matematik problemini, ne derece karmaşık olursa olsun, çözebileceği fikrini oluşturdu (Turing Testine bakınız).

1980 ile 2000 yılları arasında sabit disk hacimleri 10 megabayttan (1 × 10⁷ bayt) 100 gigabayt (10¹¹ bayt) üzerine çıktı. 100 gigabaytlık bir disk, tüm dünyadaki 6 milyar insanın isimlerini, herhangi bir sıkıştırma programı kullanmaksızın, depolama kapasitesine sahiptir. Fakat 40 karakter uzunluğundaki olası tüm şifrelerin depolanması konusu oldukça zorludur. Her bir karakterin bir bayta eşit olduğunu düşünürsek, yaklaşık olarak 2³²⁰ tane şifre üretilir. Bu da yaklaşık 2 × 10⁹⁶ eder. Evrenin hesaplama kapasitesi,^[1] adlı yazısında Seth Lloyd, eğer evrendeki her bir zerre, büyük bir bilgisayarın parçasıymış gibi kullanılabilseydi, sadece yaklaşık 10⁹⁰ bit depolayabilirdi ki, bu da gerekli sözlük boyutunun milyonda birinden daha azdır. Bununla beraber sabit diske bilgi depolama ile onları hesaplama çok farklı işlevlerdir. Bir yandan şu an için depolamanın sınırları olsa bile, fakat hesaplama hızı ise farklı bir konudur.

Örnekler

Ayrıca aşağıdaki; Sayılara, sıralı örnekler bölümüne bakınız

• ${\displaystyle 10^{10}}$ (10.000.000.000), "10 milyar"dır (veya uzun ölçeklerde bazen 10.000 milyon olarak ta adlandırılır).
• googol = 10¹⁰⁰=(10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000)
• sentilyon = 10³⁰³ veya 10⁶⁰⁰, sayı adlandırma sistemine bağlı olarak
• googolplex = 10^googol=10¹⁰¹⁰⁰
• Skewes sayıları: İlki yaklaşık olarak ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$, ikincisi ${\displaystyle 10^{10^{10^{1000}}}}$

Dünyada basılan toplam materyallar kabaca 1,6 × 10¹⁸ bittir. Bu sayı şöyle ifade edilebilir ${\displaystyle 2^{1,6\times 10^{18}}\approx 10^{4,8\times 10^{17}}}$

Karşılaştırma:

• ${\displaystyle 1,1^{1,1^{1,1^{1000}}}\approx 10^{10^{1,02\times 10^{40}}}}$
• ${\displaystyle 1000^{1000^{1000}}\approx 10^{10^{3000,48}}}$

Birinci sayı, ikincisinden çok daha büyüktür. Çünkü birinci sayının üs kulesi (3 tane kule), her ne kadar tabanı 1,1 gibi çok küçük bir sayı olsa bile, daha fazladır.

Sistematik olarak daha hızlı artış sırası oluşturma

${\displaystyle f_{0}(n)}$ (n≥1) tam sayı dizisini, fonksiyon bileşimlerine uygun olacak şekilde bir fonksiyon gibi yazarak ${\displaystyle f_{0}(1)>1}$ ile arttıralım. Sonraki dizilerden biri ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ ile bulunabilir. Burada ${\displaystyle f_{0}(10),f_{1}(10),..}$ "çapraz dizi" seçebiliriz" ^[2]

Bu, verilen bir sayıdaki yeni dizilimi oluşturma işlemidir. Bu tekrarlanabilir (örn, özyinelemeye uygulayabiliriz) ve tekrar sayı matristeki tek bir diziyi, her birinin 10. elemanını alarak seçebiliriz. Tüm bu işlem aynı şekilde tekrar ve tekrar uygulayabiliriz.

${\displaystyle f_{0}(n)=10^{n}=(10\to n)}$ işlemi bir 10 elemanını n değişkeninden önceki seriye eklemeye denk gelir. Buradaki n serinin sonundadır. Şunu elde ederiz; ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)=10\uparrow ^{k+1}n=(10\to n\to (k+1))}$ ve matristen seçilen yeni dizi k. eleman olan ${\displaystyle f_{k-1}(10)=f_{k}^{10}(1)=10\uparrow ^{k}10=(10\to 10\to k)=(10\to 10\to k\to 1)}$ dir.

Bu işlemi tekrarlayarak şunu elde ederiz; ${\displaystyle (10\to 10\to k\to n)}$ n nin ardışık değerleri için ve k=10 seçerek tek bir dizi elde ederiz, şöyle ki: ${\displaystyle (10\to 10\to 10\to n)}$.

Bunu tüm işleme uygularsak daha fazla seri elde ederiz. n=10 seçersek (10→10), (10→10→10), (10→10→10→10),... dizilerini elde ederiz. Bu, işlemleri serinin başından itibaren tekrar ve tekrar ederek kullanılabilir. Hatta ${\displaystyle f_{1}(2)}$ değeri, bu seri için zaten 10 milyar artı bir uzunluğunda bir Conway dizisi olsa bile.

Tüm bu işlemdeki her bir seri, kendi sıralama türü tarafından şu şekilde tanımlanabilir:

• (10→n→k), n üslü, k - 1 sıralama türüne sahip seri
• (10→10→n→k), n üslü ω + k - 1 sıralama türüne sahip seri
• (10→10→10→n→k), n üslü 2ω + k - 1 sıralama türüne sahip seri
• (10→10), (10→10→10), (10→10→10→10),... ω² sıralama türüne sahip dizi

n = 1 hariç ${\displaystyle f_{a}(n)<f_{a+1}(n)}$ sağlanır. a < b için, daima ${\displaystyle f_{a}(n)<f_{b}(n)}$ sağlanmayabilir. Örneğin:

• n = 1, 3, 4, 5, 6,.. için ${\displaystyle f_{3}(n)<f_{\omega }(n)}$ sağlanırken, n = 2 için sadece "=" (eşitlik) vardır..
• n = 1, 4, 5, 6,.. için ${\displaystyle f_{4}(n)<f_{\omega }(n)}$ iken n = 2 ve 3 için ">" vardır.

Yukarıdaki açıklama, hızlı artma yineleme hiyerarşileri ailesini de benzer şekilde tanımlar.

Çok büyük sayıların yazım sistemini standartlaştırma

Çok büyük sayıların yazımı için standart yol, artış sırasına göre onları kolayca sıralamayı sağlar ve bir sayının diğerinden ne kadar büyük olduğu fikrini verebilir.

Bilimsel gösterimde sayıları karşılaştıralım. Örneklerimiz 5×10⁴ ve 2×10⁵ olsun. önce üsleri karşılaştırın. Burada 5 > 4'dür. Bu yüzden 2×10⁵ > 5×10⁴ olur. Eğer üsler eşitse mantis (veya katsayı) karşılaştırılır. 5 > 2 olduğundan dolayı 5×10⁴ > 2×10⁴

10 tabanlı tetrasyon, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ serisini verir. 10 sayılarının üs kulesi (tetrasyonu), ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$, ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ fonksiyonunun (ayrıca fonksiyon googolplex'de "-plex" öneki ile kısaltılır. Googol ailesine bakınız) bir fonksiyon bileşimini verir.

Bunlar, her ifadenin bir büyüklük sırasına göre genelleştirildiği çok yuvarlak sayılardır. Bir sayının ne kadar büyük olduğunu belirlemenin basit yolu, bu serideki iki sayının ortasındakini belirlemektir.

Daha fazla doğruluk için aradaki sayılar ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$ formunda ifade edilebilir. Örn, 10s'li bir üs kulesi (tetrasyon) ve onun üstündeki bir sayının bilimsel gösterim şöyledir: ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4,829}}}}}}$ sayısı, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ arasında bir sayıdır (eğer ${\displaystyle 1<a<10}$ ise ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ olduğuna dikkat edin). (Tetrasyonu gerçek yüksekliklere genişletmeye bakınız.)

Googolplex sayısı: ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Başka bir örnek:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65.536{\mbox{ tane }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65.531}(6.0\times 10^{19.728})\approx (10\uparrow )^{65.533}4.3}$ (${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65.533}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65.534}$ arasında)

Bir sayının "büyüklük sırası", çarpım adedi olan n tarafından belirlenebilir. 1 ile 10 arasındaki bir sayısı belirlemek için ${\displaystyle \log _{10}}$ kullanılmalıdır. Sayı ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$ arasındadır.

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$ olduğuna dikkat edin.

Örn, ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$ ifadesindeki x sayısı eğer çok büyükse, bir tane daha üs kule yapabilir ve x yerine log₁₀x koyulur veya alt kuleden tüm sayının log₁₀ ifadesindeki x bulunur. Eğer üs kule (tetrasyon) 10'dan farklı, bir veya daha fazla sayı içerirse, farklı sonuca sahip iki yaklaşım meydana gelir. Alttaki bir tane 10 ile genişleyen kulenin yerine geçen, üstteki 10 ile genişleyen ile aynı değildir (fakat elbetteki tüm üs kule, 10'dan farklı ve aynı adette sayı içerirse, benzer düşünce uygulanır).

Eğer kulenin yüksekliği büyükse, büyük sayılar için, bunu yerine çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer yükseklik yaklaşık olarak verilirse, üsttekine bir değer verme mantıklı değildir. Bu yüzden, çift ok gösterimi kullanabiliriz. Örn, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$. Eğer çift oktan sonraki değerin kendisi çok büyük bir sayı ise, yukarıdaki işlemler bu değere tekrarlanarak uygulanabilir.

Örnekler:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$ sayısı (${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$ arasındadır)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})}$ sayısı (${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$ arasındadır)

Yukarıdakine benzer şekilde, eğer ${\displaystyle (10\uparrow )}$'un üssü tam olarak belli değilse, sağa bir değer vermek mantıklı değildir ve ${\displaystyle (10\uparrow )}$ üs gösterimini kullanma yerine, ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$'un üssüne 1 ekleyebiliriz. Böylece örn, ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2,8\times 10^{12})}$ elde ederiz.

Eğer ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$'un üssü büyükse, bu üsse çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer üs tam olarak belli değilse, aynı şekilde ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ üs gösterimini kullanma yerine üç ok operatörünü kullanılır. Örn, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$ olur.

Eğer üç oklu operatörün (işlecin) sağdaki argüman büyükse, yukarıdaki işlemler tekrar edilir. Örn, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})}$ sayısı (${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ile ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$ arasındadır). Bu işlem tekrarlanabilir. Böylece, üç oklu işlecin gücüne sahip olabiliriz.

Operatörleri (işleçleri) daha fazla oklarla devam ettirebilir ve şöyle yazabiliriz: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$.

Bu gösterimi, hiperişlem ve Conway dizisi ok gösterimi ile karşılaştıralım:

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$ = ( a → b → n ) = hiper(a, n + 2, b)

İlkinin avantajı, eğer b bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun üsleri için doğal bir gösterim vardır (sadece n tane ok yazıldığında): ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$. Örneğin:

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$ = ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

ve sadece özel durumlarda uzun iç içe girmiş dizi gösterimi kısaltılır. b = 1 için:

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 ) elde edilir.

b çok büyük sayı olduğunda genellikle, ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ şeklinde üslü bir seri nnin değeri azaltılarak yazılır (${\displaystyle {k_{n}}}$ tam sayı üsleridir). Sondaki bir sayı gösterimi belirtir. ${\displaystyle {k_{n}}}$ gibi bir sayı çok büyük olduğunda, ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ değeri 1 azaltılır ve ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$'in sağındaki her şey tekrar yazılır.

Sayıları yaklaşık olarak ifade etmek için, n nin değer azalış sıralarındaki sapmalara gerek yoktur. Örneğin, ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$ ve ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$. Beklenenin aksine elde edilen x sayısı çok büyüktür. x ve 10^x "hemen hemen eşittir" (büyük sayıların aritmetiği için).

Artan okun üstindisi büyükse, bunun için özel ifadeler uygulanabilir. Eğer bu üstindis tam olarak belli değilse, işleci belli bir üsse yükseltmek veya netür bir değer olduğunu ayarlamak için hiçbir nokta yoktur. Basitçe sağda standart bir değer kullanabiliriz. 10'u ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$ gibi yaklaşık n ile azaltırız. Daha fazla sayı kullanmanın avantajı için yukarı ok gösterimi artık uygulanmaz ve dizi gösterimini kullanabiliriz

Yukarıdaki işlem bu n için tekrar ve tekrar uygulanabilir. Böylece ilk okun üstindisinde ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ şeklinde bir gösterim elde edilir. Yoksa iç içe dizi gösterimi olmuş olacak. Örneğin:

(10 → 10 → (10 → 10 → ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$) ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10\!}$

Eğer derece, elverişlilik için çok büyük ise, bu derece sayısını yazıldığı yere sayısal bir gösterim kullanılır (birçok ok yazmak yerine ok üstindisi kullanma gibi). ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ = (10 → 10 → n), gibi bir fonksiyonu arttırarak bu derecelerin fnin fonksiyonel kuvveti olması sağlanır. ${\displaystyle f^{m}(n)}$ formunda bir sayı yazmamıza olanak verir. Burada m kesin ifade ve n ise ister kesin olsun ister olmasın tam sayıdır (örneğin: ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden birini kullanabiliriz. Bu sayıların en "uygunu" f^m(1) = (10→10→m→2) formundakilerdir. Örneğin, ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!}$

Graham sayısı ile karşılaştırma: 10 yerine 3 sayısını kullanır ve 64 ok derecesine sahiptir. En üstte 4 sayısı vardır. Burada ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$'dir. Ayrıca ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$'dir.

Eğer ${\displaystyle f^{m}(n)}$'deki m bilinemeyecek kadar çok büyükse, (örn, n = 1 ve yukarı doğru tekrar mye kadar giderse) sabit n kullanabiliriz. Örn, yukarı okların derece sayısı, üstindisli yukarı ok gösteriminde kendini ifade eder. f nin fonksiyonel üs gösterimini kullanma, fnin çarpım derecesini verir. ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ gibi bir fonksiyonu arttırma, bu derecelerin g gibi bir fonksiyonun derecesi olmasını sağlar ve ${\displaystyle g^{m}(n)}$ şeklinde yazılır. Buradaki m tam bilinen ve n de ister tam bilinsin ister bilinmesin bir tamsayıdır. (10→10→m→3) = g^m(1). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden herhangi birini kullanabiliriz. Benzer şekilde örn, h gibi bir fonksiyonu da arttırabiliriz. Eğer daha çok fonksiyona ihtiyaç duyulursa her seferinde yeni bir harf kullanmak yerine sayı kullanabiliriz. Örn, bir üstindis gibi. Böylece ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ formunda sayılar elde ederiz. Burada k ve m bilinen ifade ve n ister bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. Yukarıdaki f için k=1, g için k=2 kullanarak (10→10→n→k) = ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ elde edilir. Eğer n büyükse ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ şeklinde, k nın içe doğru azaldığı iç içe formlar elde edilir. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$'nin üs serisinin içindeki argüman, n nin değerleriyle azalır.

k belirlenemeyecek kadar çok büyükse, ilgili sayı ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→n) olarak, yaklaşık bir n ile kısaltılır. ${\displaystyle 10^{n}}$=(10→n) serisinden ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$=(10→10→n) serisine giden işlemin, sonraki ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→n) dizisine çok benzer şekilde gittiğine dikkat edin. Bir 10 elemanını dizi gösteriminde diziye eklemek genel bir işlemdir. Bu işlem tekrarlanabilir (önceki bölüme de bakınız). Bu fonksiyonun sonraki sürümlerini numaralandırmak için ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$ fonksiyonu kullanılarak bir sayı belirlenebilir.

Çok büyük bir sayıyı Conway dizisi ok gösterimine yazmak için, bu dizi uzunluğu için sayının ne kadar büyük olduğunu açıklanmalıdır. Örneğin sadece dizideki 10 elemanını kullanma, başka bir ifadeyle onun 10, 10→10, 10→10→10, .. serisindeki konumunu belirleme. Hatta serideki konumu bile büyük bir sayı ise, bunun için aynı teknikleri uygulayabiliriz.

Sayılara, sıralı örnekler

• ( 1 → Y ) = 1 (Her Y alt dizisi için)
• ( 2 → 2 → Y ) = 4 (Her Y alt dizisi için)
• ${\displaystyle 2^{2^{2}}}$ = ( 2 → 3 → 2 ) = 16
• ${\displaystyle 3^{3}}$ = ( 3 → 2 → 2 ) = 27
• 4⁴ = ( 4 → 2 → 2 ) = 256
• 5⁵ = ( 5 → 2 → 2 ) = 3125
• 6⁶ = ( 6 → 2 → 2 ) = 46.656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$ = ( 2 → 3 → 3 ) = ( 2 → 4 → 2 ) = 65.536
• 7⁷ = ( 7 → 2 → 2 ) = 823.543
• 8⁸ = ( 8 → 2 → 2 ) = 16.777.216
• 9⁹ = ( 9 → 2 → 2 ) = 387.420.489
• 10¹⁰ = ( 10 → 2 → 2 ) = 10.000.000.000
• ${\displaystyle 3^{3^{3}}}$ = ( 3 → 3 → 2 ) = ( 3 → 2 → 3 ) = 7.625.597.484.987
• googol = ${\displaystyle 10^{100}}$
• ${\displaystyle 4^{4^{4}}}$ = ( 4 → 3 → 2 ) = ${\displaystyle 1,34078079299\times 10^{154}}$
• Gözlemlenebilir evrenin Planck uzunluğuna göre yaklaşık değeri = ${\displaystyle 8,5\times 10^{184}}$
• ( 2 → 5 → 2 ) = ${\displaystyle 2^{65536}\approx 2.0\times 10^{19.729}}$
• ${\displaystyle M_{43,112,609}\approx 3.16\times 10^{12,978,188}\approx 10^{10^{7,1}}}$, 47^nci ve Nisan 2010 itibariyle bilinen en büyük Mersenne asalı (sayısı).
• ${\displaystyle 10^{10^{10}}=10\uparrow \uparrow 3=(10\uparrow )^{3}1}$ = (10 → 3 → 2)
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}}$ = ( 3 → 4 → 2 ) = ${\displaystyle 10^{3,63833464\times 10^{12}}}$
• googolplex = ${\displaystyle 10^{10^{100}}}$
• ( 2 → 6 → 2 ) = ${\displaystyle 2^{2^{65536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19.728}}}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$ = ( 10 → 4 → 2 )
• ( 2 → 7 → 2 ) = ${\displaystyle 2^{2^{2^{65536}}}\approx 10^{10^{6.0\times 10^{19,728}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5=(10\uparrow )^{5}1}$ = ( 10 → 5 → 2 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6=(10\uparrow )^{6}1}$ = ( 10 → 6 → 2 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 7=(10\uparrow )^{7}1}$ = ( 10 → 7 → 2 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 8=(10\uparrow )^{8}1}$ = ( 10 → 8 → 2 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 9=(10\uparrow )^{9}1}$ = ( 10 → 9 → 2 )
• ${\displaystyle (10\uparrow )^{8}783}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow 10=(10\uparrow )^{10}1}$ = ( 10 → 2 → 3 ) = ( 10 → 10 → 2 )
• ( 2 → 3 → 4 ) = ( 2 → 4 → 3 ) = ( 2 → 65.536 → 2 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow )^{65531}(6,0\times 10^{19.728})}$
• ${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=(3\to 3\to 3)\approx 10\uparrow \uparrow 7,6\times 10^{12}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}=(10\to 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}\to 2)}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$ = ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9,73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$ = ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$ = ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$ = ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$ = ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$ = ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{1}01}$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$ = (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$ = ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$ = ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$ = ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$ = ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$ = ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$ = ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$ = ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$ = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ${\displaystyle 10^{10}}$ ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10\!}$
• ( 10 → 10 → ${\displaystyle 10^{\,\!10^{10^{3,81\times 10^{17}}}}}$ )
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ${\displaystyle 10^{10}}$) ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!}$
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Graham sayısı^[3]
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )

Temel değerleri karşılaştırma

Aşağıdaki anlatımlar 10'dan başka 100 tabanlı değerleri açıklıyor.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, 10 tabanının üssü ikiye katlandı.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, yukarıdaki gibi.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}=10^{10^{2*10^{24}+0,3}}}$, en yüksekteki üs, ikiye katlanmaktan çok az fazladır.

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0,3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200,3=(10\uparrow )^{4}2,3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200,3=(10\uparrow )^{n}2,3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ (Burada eğer n büyükse, rahatça ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ "yaklaşık olarak eşittir" ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$) diyebiliriz.
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2,3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2,3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2,3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ (karşılaştırın ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$; Burada eğer n büyükse, ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ "yaklaşık olarak eşittir" ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$) diyebiliriz
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2,3}$ (karşılaştırın ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$ (compare ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2,3}$ (compare ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$; eğer n büyükse bu "yaklaşık olarak" eşittir)

Doğruluk

${\displaystyle 10^{n}}$ sayısı için n deki bir birimlik değişmenin sonucu 10 faktör olarak değiştireceğine dikkat edin. ${\displaystyle 10^{\,\!6,2\times 10^{3}}}$ gibi bir sayıda, 6,2'de belirli şekilleri kullanarak tam yuvarlama, üssün doğruluk değerini 50 daha az veya 50 daha çok yapabilir. Benzer şekilde ${\displaystyle 10^{50}}$ faktörü çok büyük ya da çok küçük olabilir.

Çok büyük sayılarda doğruluk

Aşırı büyük sayılarda göreceli hata da büyük olabilirken dikkate almak istediğimiz sayıların "büyüklüğüne yakın" bir hassasiyeti olabilir. Örneğin,

${\displaystyle 10^{10}}$ ile ${\displaystyle 10^{9}}$'u göz önüne alalım.

Göreceli hata,

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$'dır

Bu büyük bir hatadır. Yine de göreceli hatayı logaritmada göz önünde bulundurabiliriz. Bu sebeple 10 tabanındaki logaritmalar 10 ve 9'dur. Böylece logaritmadaki göreceli hata sadece %10 olur.

Eğer a ve b küçük göreceli bir hataya sahipse üstel fonksiyonların göreceli hataları oldukça büyüktür,

${\displaystyle 10^{a}}$ ile ${\displaystyle 10^{b}}$'nin

göreceli hataları büyüktür ve

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$ ile ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$ de

daha büyük göreceli hataya sahip olacaktır. Sonraki soru şöyle olacaktır: hangi seviyedeki yinelenen logaritmada iki sayıyı karşılaştırabiliriz? Göz önünde bulunduracağımız bir hassasiyet vardır

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$ ile ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

"yakın büüklükte" olur. Bu iki sayı arasındaki göreceli hata büyüktür ve onların logaritmaları arasındaki göreceli hata yine büyüktür. Bununla beraber bunların ikinci yineleme logaritmalarındaki hata küçüktür:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$ ile ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Örneğin, analitik sayı teoreminde yineleme logaritmalarını karşılaştırma bunun gibidir.

Çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiği

Çok büyük sayılarında uygulanan olağan aritmetik işlemlere ait birkaç genel kural vardır:

• İki çok büyük sayıyı toplama ve çarpmanın her ikisinin sonucu da "yaklaşık olarak" sayılardan birine eşittir.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Buradan:

• Çok büyük kuvvete yükselen büyük bir sayı "yaklaşık olarak" aşağıdaki iki değerden birine eşittir: İlk değer ve 10, ikincinin kuvvetine. Örneğin, çok büyük n için ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ (megayı hesaplamaya bakınız) ve ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$ olur. Burada ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536>10\uparrow \uparrow 65533}$, Knuth tablolarına bakınız.

Bazı hesaplanamayan serilerdeki büyük sayılar

Meşgul kunduz fonksiyonu Σ, herhangi bir hesaplanabilen fonksiyondan daha hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Göreceli girdi değeri küçük olsa bile kendisi kocamandır. n = 1, 2, 3, 4 için Σ(n) fonksiyonu 1, 4, 6, 13'dür. Σ(5) bilinmiyor, fakat ≥ 4098 olarak tanımlanıyor. Σ(6), en az 4,6×10¹⁴³⁹'dur.

Harvey Friedman da, herhangi hesaplanabilir fonksiyonlardan daha hızlı büyüyen serilerle ilgili birkaç çalışma yapmıştır.^[4]

Sonsuz sayılar

Her ne kadar yukarıdaki tüm sayılar çok büyük olsa bile, yine de tümü sınırlıdır. Matematiğin belirli alanları sonsuz ve sonluötesi sayıları tanımlar. Örneğin elif sayısı, doğal sayıların sonsuz serisinin nicelliğidir ve elif-bir sonraki en büyük nicel sayıdır. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, gerçellerin nicelliğidir. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ önermesi süreklilik hipotezi olarak bilinir.

Gösterimler

Aşırı büyük sayıların bazı gösterimleri:

• Knuth yukarı ok gösterimi / hiperişlemler / tetrasyon içeren Ackermann işlevi
• Conway dizisi ok gösterimi
• Steinhaus-Moser gösterimi; büyük sayıların yapı yöntemi bir yana bu, çokgenli grafiksel gösterimi de içerir. Geleneksel fonksiyon gösterimleri gibi alternatif gösterimler de aynı fonksiyonlarla kullanılabilirler.

Bu gösterimler aslında, tamsayılarla hızlı bir şekilde artar tamsayı değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Fonksiyonlardaki hızlı artma bile, tekrarlı bir şekilde, bu fonksiyonları argüman olarak büyük tamsayılarla uygulayarak kolayca elde edilebilir.

Ayrıca bakınız

• Üstel büyüme
• Hızlı artma yineleme hiyerarşisi
• Graham sayısı
• Büyük sayıların tarihi
• İnsan ölçeği
• Büyük sayılar yasası
• Büyük sayıların adları
• Rakam
• Kızak kuralı
• Küçük sayı
• Tetrasyon

Alıntılar

1. Lloyd, Seth (2002). "Computational capacity of the universe" (PDF). Phys. Rev. Lett. 88 (23): 237901. DOI:10.1103/PhysRevLett.88.237901. PMID 12059399. eprint quant-ph/0110141. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0110141. Erişim tarihi: 2007-09-17. 
2. 10'un yerine başka bir sayı da kullanılabilir. O 1'den daha büyük olmalıdır ve eğer ${\displaystyle f_{0}(1)=2}$ ise, artış dizisi elde etmek için o 2'den daha büyük olmalıdır.
3. Önceki değerle karşılaştırma ile ilgili: ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$. Böylece 4 yerine 1, 10 yerine 3 sayılarını koyarak 64 adım başlama, dengeyi daha fazla sağlanmış olur
4. http://www.math.ohio-state.edu/%7Efriedman/pdf/EnormousInt.12pt.6_1_00.pdf