Tensör teorisinin dili

Bu bir tensör teorisi sözlüğüdür. Farklı bakış açılarından tensör teorisinin sergisi için, bakınız:

• Tensör
• Tensor (içsel tanım)
• Mühendislik bilimi içinde tensör teorisinin uygulamaları

Ayrıca Çokluboyutlu cebirin soyut teorisinin bazı tarihi için bakınız.

Klasik gösterim

Ricci hesabı

Tensör teorisinin en yakın bulguları – tensor indis göstermi.^[1]

Tensör derecesi

Bir tabana göre bir tensör bileşenleri dizinlenmiş dizidir.Bir tensörün derecesi gerekli indislerin sayısıdır. Bazı metinlerde terim derecesini ya da rank kullanarak tensör derecesine kaynak olabilir.

Rank

Bir tensörün rank tensörünü elde etmek için toplanır olmalıdır rank-bir tensörün minimum sayısıdır. Bir rank-bir tensör doğru sırada elde etmek için gerekli sıfır olmayan vektörlerin sayısının dış çarpımı olarak ifade edilebilir olarak tanımlanabilir.

Diyadik tensör

Bir diyadik tensör ikinci derecenin bir tensörüdür, ve bir kare matris olarak gösterilebilir. tersine, bir diyad bir rankın özellikli bir diyadik tensörüdür.

Einstein gösterimi

Bu gösterim bir tekrarlanan dizin harfi içeren bir ifade içinde bir terim anlayışına dayanan, Varsayılan yorumlama bu çarpımlardır ve indisin tüm izin verilen değerleri üzerinde özetlenebilir. Örneğin eğer a_ij bir matris, ise a_ii bu kuralı altında bu izdir.Einstein kuralı fizik ve mühendislik konuları içinde geniş ölçüde kullanılıyor, ölçüde bu toplama uygulanacak değilse, açıkça dikkat etmek normaldir.

Kronecker delta

Levi-Civita sembolü

eşdeğişken tensör

karşıtdeğişken tensör

Klasik yorum bileşenleri iledir.Örnek için a_idxⁱ diferansiyel formu içindebileşenler a_i bir eşdeğişken vektördür.Bu bütün indislerin alt olduğu anlamına gelir karşıtdeğişken tüm indislerde üst anlamına gelir.

Karışık tensör

Bu üst ve alt indisler ve hem de herhangi bir tensör anlamına gelir.

Kartezyen tensör

Kartezyen tensörler sürekli mekanikte,akışkanlar mekaniği ve elastisite gibi çeşitli branşlar içinde geniş ölçüde kullanılıyor.Klasik sürekli mekaniklerde, ilgilenilen uzay genellikle 3-boyutlu Öklidyen uzayı gibi her noktada tanjant uzaydadır.Eğer yerel koordinatlar ile sınırlıysak ilgilenilen noktada aynı ölçek merkezli Kartezyen koordinatlar ile, metrik tensör Kronecker delta olmaktadır. Bu eşdeğişken karşıtdeğişken ve bileşenlerini ayırmak için bir ihtiyaç olduğu anlamına gelir, ve bundan başka tensörleri ve tensör yoğunluğunu ayırt etmeye gerek yoktur.Tüm Kartezyen-tensör indisleri alt simgeler olarak yazılabilir. Kartezyen-tensörlerde genelliğin ve bazı teorik içgörünün pahasına hesaplamalı sadeleştirme önemli eldedir.

Bir tensörün kasılması

Yükselen ve alçalan indisler

Simetrik tensör

Antisimetrik tensör

Çoğul çapraz çarpımlar

Cebrik gösterim

Bu bileşenlerin ilk kullanımını önler ve tensör çarpım sembolün kesin kullanımı ile ayırt edilir.

Tensör çarpımı

Eğer v ve w sırasıyla V ve W vektör uzayı içinde vektörler,ise

${\displaystyle v\otimes w\,}$

bir tensör içindedir

${\displaystyle V\otimes W.\,}$

Şöyleki &otimes işlemi bir ikili işlemdir, ama bu bir taze uzay içinde alınan değerler (bu güçlü bir anlamda dışsaldır).⊗ işlemi bir çiftdoğrusal göndermedir; ama başka bir uygun şartlar uygulanır.

Saf tensör

v ⊗ w formunun biri de V ⊗ Wnin saf bir tensörüdür

Bu diyadikal olarak aⁱb^j yazılabilir, veya daha doğrusu aⁱb^j e_i ⊗ f_j, burada e_i V için bir taban ve W için bir taban f_j dir.Bu nedenle,V ve W olmadıkça aynı boyut var, bileşenlerin dizisi kare olmak zorunda değildir. Böyle saf tensörler jenerik değildir: Eğer her iki V ve Wnin 1'den daha büyük boyutlar var ise,saf olmayan tensörler olacaktır, ve burada doğrusal olmayan durumlar için karşılayan bir tensör, olmaktadır. dahası için Segre gömmesine bakınız.

Tensör cebri

Bir vektör uzayı Vnin T(V) tensör cebri içinde, işlem

${\displaystyle \otimes }$

bir normal (içsel) ikili işlem alınıyor. Bir sonuç bu T(V)dir.V sonsuz boyut olmadıkça 0 boyutu var,bir X kümesi üzerinde bağımsız cebir tabanında X ile vektör uzayı üzerinde tensör cebri ile aynı pratik amaçlar içindir.

Dış kuvvet

Kama çarpım ⊗in anti-simetrik formudur.Bunun üzerinde T(V)nin kota uzayı alınan bu bir iç işlem Vnin dış cebridir; bu bir kademeli cebirdir,k ağırlığının kademeli parçası ile Vnink-inci dış kuvveti olarak adlandırılır.

Simetrik kuvvet, simetrik cebir

Bu polinomal cebirin yapımının değişmez yoludur.

Uygulamalar

Metrik tensör

Gerginlik tensörü

Stres–enerji tensörü

Tensör alan teorisi

Jacobian matris

Tensör alanı

Tensör yoğunluğu

Lie türevi

Tensör türevi

Diferansiyel geometri

Soyut cebir

Alanların tensör çarpımı

Bu alanlar üzerinde bir işlemdir, her zaman bir alan üretmez.

R-cebrinin tensör çarpımı

Clifford modülü

Bir Clifford cebrinin bir gösterimi için bir matris cebiri olarak bir Clifford cebrinin gerçekleştirilmesini sağlar.

Tor funktorlar

Bu tensör çarpımının türeme funktorlarıdır,ve homolojik cebir içinde güçlü özelliğidir. Abelyen grup teorisi içinde torsiyon subgruptan adını alır.

Değişmezlik teorisinin sembolik metodu

Türeme kategoriler

Grothendieck'in altı işlemi

Bu geometrinin bazı bölgelerinde kullanılan oldukça soyut yaklaşımlardır.

Spinorlar

Bakınız:

Spin grup

Spin-c grup

Spinor

Pin grup

Pinorlar

Spinor alanı

Killing spinoru

Spin manifold

Kaynakça

1. Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen (Springer) 54 (1–2): 125–201, DOI:10.1007/BF01454201, http://www.springerlink.com/content/u21237446l22rgg7/fulltext.pdf 

Kitaplar

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 bas.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6 
• Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e bas.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7. 
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X. http://books.google.com/books?as_isbn=140201015X. 
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7. 
• Synge J.L., Schild A. (1949). Tensor Calculus. first Dover Publications 1978 edition. ISBN 978-0-486-63612-2. 

Şablon:Tensors