Trigonometri

Trigonometri (Yunanca trigōnon "üçgen" + metron "ölçmek" ), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.

Tarihi

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Batıda Nasîrüddin Tûsî’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.^{[kaynak belirtilmeli]}.

Genel bakış

Trigonometrik işlevler

Trigonometrik işlevler bir dik üçgen ya da birim çember üzerinden tanımlanır. Temel olarak üç tane trigonometrik işlev ve bunların çarpma işlemine göre terslerinden oluşan üç tane daha işlev vardır. Yandaki ABC üçgeninde

• Sinüs işlevi (sin), karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.}$

• Kosinüs işlevi (cos), komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.}$

• Tanjant işlevi (tan), karşı kenarın komşu kenarı oranıdır.

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{karşı}}{\text{komşu}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

Bir de bu işlevlerin çarpmaya göre tersi vardır. kosekant, sekant ve kotanjant:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Bu işlevler geometrinin dolayısıyla fiziğin ve mühendisliğin pek çok alanında kullanılır. Sinüs ve kosinüs teoremleri bir üçgenin açıları ve kenarlarını hesaplamakta kullanılır ki herhangi bir çokgen üçgenlerin birleşimi olduğundan çokgenleri incelemede de yararlıdır.

Birim çember üzerinden tanımı

Birim çember üzerinde bütün işlevler

Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım sadece 0-90 derece aralğını kapsar (0-π/2 radyan).

90-360 derece arasındaki açıların trigonometrik değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360 dereceden büyük açılar 360 üzerinden devrettirilerek 0-360 arasındaki esas ölçüsü bulunur.

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veyatrigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x²+y²=1 şeklindedir.

Bir açının esas ölçüsü

• 0°≤x<360° ve k bir tam sayı olmak üzere ölçüsü x+360k olan açıların esas ölçüsü x derecedir.
• 0≤x<2π ve k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü x+2πk olan açıların esas ölçüsü x radyandır.

Sarma işlevi

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve sarma işlevi denir.

Sarma işlevini s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek işlev

${\displaystyle \ s:\mathbb {R} \to C}$

şeklinde yazılabilir ve ${\displaystyle \ s(x)=P}$ oldugunda ${\displaystyle \ s(x+2k\pi )=P}$ olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) ${\displaystyle 2\pi }$ olan bir işlevdir.

İşlevler arasındaki ilişkiler

Yukarıdaki tanımlardan görülebileceği gibi, bu işlevler arasında

${\displaystyle {\cos ^{2}\ x}+{\sin ^{2}\ x}=1}$ (Pisagor teoremi)

${\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }$

ilişkileri vardır.

Dik üçgenlerde bazı açıların trigonometrik oranları

	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ 30=\pi /6}$	${\displaystyle \ 45=\pi /4}$	${\displaystyle \ 60=\pi /3}$	${\displaystyle \ 90=\pi /2}$	${\displaystyle \ 180=\pi }$	${\displaystyle \ 270=(3/2)\pi }$
${\displaystyle \sin \ x}$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle \ 1}$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ -1}$
${\displaystyle \cos \ x}$	${\displaystyle \ 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle \ 1/2}$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ -1}$	${\displaystyle \ 0}$
${\displaystyle \tan \ x}$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \ 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \ \infty }$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ \infty }$
${\displaystyle \cot \ x}$	${\displaystyle \ \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \ 1}$	${\displaystyle \ 1/{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle \ \infty }$	${\displaystyle \ 0}$

Trigonometrinin kullanım alanları

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, inşaat mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur.