Polinom

3. dereceden bir polinomun grafiği:
f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

Matematikte, bir polinom belirli sayıda bağımsız değişken ve sabit sayıdan oluşan bir ifadedir. Polinom kendi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan sayının üssünü alma işlemlerini kullanır. Örnek olarak tek bilinmeyenli bir polinom olan x² − 4x + 7, ikinci dereceden bir polinomdur. Diğer bir örnek olarak, x² − 4/x + 7x^3/2 bir polinom değildir, çünkü 2. terimi x′i ele alan bir bölme işlemi içermektedir ve 3. terimi tam sayı olmayan bir sayı içermektedir (3/2).

Polinomlar, bilimde ve matematik alanında sıkça görülür. Ekonomiden kimyaya, kimyadan fiziğe, ve sosyal bilimlerde problemlerin çözülmesi için kullanılır. Polinomlar, toplama işlemlerinde ve sayısal analizlerde diğer fonksiyonları belirlemek için kullanılır. İleri seviye matematikte, polinomlar, polinom halkaları oluşturmak için kullanılır, ve bu halkalar temel matematikte ve cebirsel geometride kullanılan merkezi bir kavramdır.

Bu ismin akılda kalması amacıyla, Türk Dil Kurumu'nun da belirttiği polinom sözlük anlamıyla "çok terimli" anlamına gelmektedir.^[1]

Etimoloji

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, polinom, binom kelimesindeki bi- kökünün Yunanca poli- kökü ile değiştirilmesiyle oluşmuş bir kelimedir. Yunanca kelime poli, çok anlamına gelmektedir. polinom kelimesi ilk 17. yüzyılda kullanılmıştır.^[2]

Notasyon

Bir polinomda belirsiz X, formüllerde P ya da P(X) olarak belirebilir.

Genelde, polinomun ismi P(X) değil, P′dir. Ancak, eğer a bir sayı, bir değişken, başka bir polinom, veya, daha genel olarak herhangi bir ifadeyi belirtmek için kullanılırsa, P(a) teamül olarak P′deki X′in yerine a′nın geçmesini belirtir. Örnek olarak polinom P, yandaki fonksiyonu tanımlar: ${\displaystyle x\mapsto P(x)}$

İlişkilendirilen fonksiyonda bilinmeyenler için büyük harf ve değişkenler için küçük harf kullanmak bilinen bir uzlaşımdır.

Özellikle, eğer a = X olursa, P(a)′nın tanımı P = P(X)′i belirtir.

Bu eşitlik bazı durumlarda sözle ifade etmeyi basitleştirir. Örneğin ″P(X) bir polinom olsun″ yerine ″X bilinmeyeni içinde P bir polinom olsun″ kullanılır. Diğer yandan, bilinmeyenin ismini vurgulamak gerekli olmadığı zaman, eğer polinomun her görünüşünde bilinmeyenin ismi gözükmüyorsa çoğu formül daha basit ve okuması daha kolay olur.

Polinomların Aritmetiği

Toplama

Polinomlar toplamanın birleşmeli yasasını kullanarak (bütün terimlerin tek bir toplamda birleştirilmesi), mümkün olduğunca tekrardan sıralanıp, benzeri terimler birleştirilebilir.^[3][4]

Örneğin:

1. ${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$ olsun
2. ${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$ olsun
3. sonrasında
   ${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$
4. basitleştirirsek:
   ${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6}$

Polinomların toplamı polinom verir.^[5]

Çarpım

İki polinomun çarpımlarının terimlerinin toplamını çözmek için, dağılma yasası tekrar edecek şekilde uygulanılır, ki bu, bir polinomun her teriminin diğer polinomun her terimiyle çarpılmasıyla sonuçlanır.^[3]

Örneğin:

1. ${\displaystyle \color {BrickRed}{P=2x+3y+5}}$ olsun
2. ${\displaystyle \color {RoyalBlue}{Q=2x+5y+xy+1}}$ olsun
3. sonrasında
   ${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}$
4. basitleştirirsek:
   ${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5}$

Polinomların çarpımı polinom verir.^[5]

Bölme

Polinom değerlendirmesi birinci dereceden bir polinomun polinom bölümlerindeki kalanı hesaplamak için kullanılabilir, çünkü f(x)′in (x − a)′ya bölümü f(a)′dir; polinom kalan teoremine bakınız. Bu yöntem oran gerekli olmadığı zaman, çoğunlukta kullanılan bölüm algoritmasından daha verimli olur.

Diğer Özellikler

• İki polinomun bileşke fonksiyonu bir polinomdur, ki bu ilk polinomdaki değişkenin ikinci polinomdaki bir değişkenle değiştirilmesiyle elde edilir.^[5]
• a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunun türevi: na_nxⁿ⁻¹ + (n−1)a_n−1xⁿ⁻² + ... + 2a₂x + a₁′dir. Eğer katsayı dizisi tam sayı içermezse (örneğin katsayılar asal sayı olan p′nin modülosu ise), o zaman ka_k, k kere a_k′nin toplamı olarak yorumlanmalıdır. Örneğin tam sayı üstünde modülo p iken, x^p + 1′nin türevi polinom 0′dır.^[6]

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

1. "Türk Dil Kurulumu, Güncel Türkçe Sözlük". 8 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20151208115345/http://www.tdk.gov.tr:80/index.php?option=com_gts. 
2. "polynomial" kelimesinin köken bilgisi. Sıkıştırılmış Oxford İngilizce Sözlüğü
3. Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. s. 47. ISBN 9780817637316. http://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47. 
4. Salomon, David (2006). Coding for Data and Computer Communications. Springer. s. 459. ISBN 9780387238043. http://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459. 
5. Barbeau, E.J. (2003). Springer. s. 1-2. ISBN 9780387406275. 
6. Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. s. 64-65. ISBN 9780387406275. http://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA64.