Bessel fonksiyonu

Bu maddenin sonunda bir kaynak listesi olmasına rağmen, metin içi dipnotlar yeterince veya hiç kullanılmadığı için, bazı bilgilerin kaynağı belirsizdir. Maddeye uygun biçimde kaynaklar ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Matematikte, ilk defa matematikçi Daniel Bernoulli tarafından tanımlanan ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilen Bessel fonksiyonları, Bessel diferansiyel denkleminin y(x) şeklindeki kanonik çözümleridir:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

Burada α (Bessel fonksiyonunun derecesi) keyfi bir gerçel veya karmaşık sayıdır. α için en sık ve önemli durum, değişkenin bir tamsayı mı yoksa yarım-tamsayı mı olduğudur.

α ve −α aynı diferansiyel denklemi üretmesine rağmen, genelde bu iki derece için farklı Bessel fonksiyonları tanımlamak tercih edilir. (örneğin, böylece Bessel fonksiyonları çoğunlukla α'nın düzgün fonksiyonlarıdır). Bessel fonksiyonları silindirik fonksiyonlar veya silindirik harmonikler olarak da bilinir; çünkü fonksiyonlar Laplace denkleminin Silindirik koordinat sistemi'nde çözümünden elde edilir.Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan bazı fonkiyonlar, üstel, polinom, logaritmik, trigonometrik gibi fonksiyonlarla ifade edilemezler. Bu tür fonksiyonların bir kısmı bazı özel integraller ile belirlenebilir.

Hata Fonksiyonu: Kütle transferi, ısı transferi ve reaktör tasarımında karşılaşılan bir fonksiyondur.

Bessel Fonksiyonunun Uygulamaları

Laplace denklemi ve Helmholtz denklemi'ne silindirik veya küresel koordinatlar'da ayrılabilir çözümler bulma sırasında Bessel denklemi ortaya çıkar. Bessel fonksiyonları dalga yayılımı ve statik potansiyelleri gibi pek çok sorun için bu nedenle özellikle önemlidir. Silindirik koordinat sistemlerinde problemleri çözmede Bessel fonksiyonları, bir tamsayı dereceli (α = n) değer alır; küresel sorunları çözmede, bir yarım tamsayı değeri alır (α = n + ½). Örnekler:

• Silindirik bir dalga kılavuzu'nun içindeki Elektromanyetik dalgalar
• Silindirik bir nesnede ısı aktarımı
• Bir ince dairesel titreşimde Modlar (veya halkası) yapay membran (bir davul veya diğer membranofon gibi)
• Bir kafes üzerine Difüzyon sorunları Serbest parçacık için radyal Schrödinger denklemi (Küresel ve silindirik koordinatlarda) ve çözümleri
• Akustik radyasyon desenlerinin çözümü

Bessel fonksiyonlarının ayrıca, sinyal işleme gibi başka sorunlar (örneğin, FM sentezi, Kaiser penceresi veya Bessel filtresi'ne bakınız) için yararlı özelliği var.

Tanımlamalar

Bu ikinci dereceden diferansiyel denklem olduğundan, iki lineer bağımsız çözüm bulunmalıdır. bununla birlikte koşullara bağlı olarak,, bu çözümler çeşitli formülasyonlara uygun olmaktadır, ve farklı varyasyonlar aşağıda tarif edilmektedir.Bessel fonksiyonu Bessel denklemi, onlar ve sütunlar harmonik işlevi diğer fonksiyonlar. Temel işlevlerine ek olarak, fizik ve mühendislik Bessel fonksiyonu en yaygın, onlar 1824 yılında ilk nitelendirdi FW Bessel, adını 19. yüzyıldan kalma bir Alman astronom bulunmaktadır.
Genel olarak matematiksel fonksiyonları özel bir sınıftır. Standart çözüm fonksiyonu y (x) [1]: Bessel fonksiyonu genel olarak aşağıdaki adi diferansiyel denklemler fonksiyonu y (x) standart çözeltisi (genellikle Bessel denklemi olarak da bilinir)

Birinci türden Bessel fonksiyonları : J_α

Bessel fonksiyonunun ilk türü ,J_α(x)ifadesi olan Bessel diferansiyel denkleminin çözümüdür bu orijinde sonludur α tamsayısı için  (x = 0), α'nın negatif tamsayı olmayan değerleri için x sıfıra yaklaştıkça sapıyor.Çözüm tipi (e.g., tamsayı veya tamsayı olmayan) ve özellikler tarafından tanımlanan J_α(x)'ın normalizasyonu aşağıdadır,tahminen x = 0 çevresinde Taylor serisi açılımı ile fonksiyonun tanımı: ^[1]

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\tfrac {1}{2}}x\right)}^{2m+\alpha }}$

burada Γ(z) gama fonksiyonu'dur,Faktöriyel fonksiyonun tamsayı olmayan değerlerinin bir genellemesidir. Bessel fonksiyonları sin veya cos fonksiyonlarındaki grafiklere kabaca benziyor,salınımdaki bu bozunma 1/√x la orantılı (ayrıca asimptotik formları aşağıda),büyük x lar için asimptotiklik hariç kökleri olmasına rağmen genelde periyodik değildir,. (Taylor serisi olduğunu gösterir −J₁(x) J₀(x)'nin türevidir,−sin x ın cos x ın türevi olmas gibi;daha geneli,J_n(x) nin türevi aşağıda kimliği tarafından J_n±1(x) terimleri içinde ifade edilebilir.)

Birinci tür Bessel fonksiyonun çizimi, J_α(x), tamsayı değerleri α = 0, 1, 2.

Tamsayı olmayan α lar için fonksiyonların Jα (x) ve J-α (x) doğrusal bağımsızdır ve bu nedenle denklemin iki çözümü vardır.Diğer taraftan, tamsayı dereceli α için, aşağıdaki ilişki (negatif tamsayı argümanlar için Gamma fonksiyonun sonsuz değerler aldığını unutmayın) geçerlidir:^[2]

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,}$

Bu iki çözüm artık lineer bağımsız olduğu anlamına gelir. Bu durumda, ikinci bir lineer bağımsız çözüm daha sonra aşağıda anlatıldığı gibi, ikinci tür Bessel fonksiyonu olarak tespit edilir.

Bessel integrali

Diğer tanım ,${\displaystyle n}$'in tamsayı değerleri için Bessel fonksiyonun,integral gösterimi mümkündür:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .}$

Diğer integral gösterimi:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .}$

Bu, Besselin kullandığı yaklaşım ve fonksiyonun bu tanımdan türetilen çeşitli özellikleri vardır ve belki tamsayı-olmayan değerler (${\displaystyle \Re (x)>0}$ için)ile tanımı genişletilebilir.

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt,}$^[3][4][5][6]

veya ${\displaystyle \alpha >-{\frac {1}{2}}}$ için tarafından

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2^{\alpha -1}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}\,x^{\alpha }}}\int _{0}^{x}(x^{2}-\tau ^{2})^{\alpha -1/2}\cos \tau \,d\tau .}$

Hipergeometrik seriler ile ilişkisi

Bessel fonksiyonları genelleştirilmiş hipergeometrik serisi terimleri cinsinden ifade edilebilir {{Kaynak needed|date=August 2011}}

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {(x/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}).}$

Bessel-Clifford fonksiyonu Bessel fonksiyonların geliştirilmesi ile elde edilmiştir.

Laguerre polinomları ile ilişkisi

Bessel fonksiyonu ${\displaystyle L_{k}}$ ve keyfi olarak seçilen parametre ${\displaystyle t}$ olmak üzere Laguerre polinomları cinsinden ifade edilebilir^[7]

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{k+\alpha \choose k}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Y_α

Y_α(x) ile gösterilen Ikinci türden Bessel fonksiyonları, bazen N_α(x) yerine gösterilebilir, Bessel diferansiyel denkleminin çözümleridir. (x = 0 ,kökenli bir tekillik var ).Bunlara Heinrich Martin Weber anısına bazen Weber fonksiyonları ve ayrıca Carl Neumann anısına Neumann fonksiyonları denir.

Plot of Bessel function of the second kind, Y_α(x), for integer orders α = 0, 1, 2.

α tamsayı değilse, Y_α(x) fonksiyonu ile J_α(x) arasında şu ilişki vardır:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$

Bu durumdan tamsayı olarak alınırsa, α bir tamsayı değilse bu tanımla limit alınırsa 'n' şu eğilimdedir:

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$

Buna karşılık gelen bir integral formülü vardır(${\displaystyle \Re \{x\}>0}$ için),^[8]

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}\,dt.}$

Bessel denklemi ne zaman ikinci lineer bağımsız çözüm olarak αtamsayısı Y_α(x) için gerekli bir tamsayıdır. . ama Y_α(x) bundan daha fazla anlama sahiptir, bir 'doğal' eşi J_α(x) ifadesi kabul edilebilir. Ayrıca aşağıda Hankel fonksiyonları için alt bölüme bakın α bir tam sayı olduğu zaman,Ayrıca,birinci tür fonksiyonları için durum benzerdi,ve aşağıdaki ilişki geçerlidir:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).\,}$

J_α(x) ve Y_α(x)'nin her ikisi de holomorfik fonksiyon'dur of x on the karmaşık düzlem'de negatif gerçek ekseni kesip. Eğer α bir tamsayıdır ise, Bessel fonksiyonlarıJ x 'ın tam fonksiyon'udur. eğer x sabit ise,Bessel fonksiyonları α için tam fonksiyon'dur.

Hankel fonksiyonları: H_α⁽¹⁾, H_α⁽²⁾

Bessel denkleminin için iki doğrusal bağımsız çözümleri için diğer önemli bir formülasyon 'Hankel fonksiyonları'dır. H_α⁽¹⁾(x) and H_α⁽²⁾(x), tanımları için :^[9]

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}$

Burada i sanal birim'dir. Bu lineer kombinasyon ayrıca Üçüncü tür Bessel fonksiyonları olarak da bilinir; bunlar Bessel diferansiyel denklemi iki lineer bağımsız çözümlerdir.Fonksiyonun ismi Hermann Hankel anısınadır. Birinci ve ikinci tür Hankel fonksiyonların önemi teorik gelişme yerine uygulamada yatmaktadır. Lineer kombinasyonu bu formları asimptotik formüller veya entegre gösterimleri gibi, çok sayıda basit görünümlü özellikler taşır. ${\displaystyle e^{if(x)}}$Hankel fonksiyonları sırasıyla, silindirik dalga denkleminin dışa ve içe yayılan silindirik dalga çözümleri ifade etmek için kullanılır (ya da tersi, bağlı frekans). sinyal mutabakatı için

bir önceki ilişkileri kullanılaraki şu şekilde ifade edilebilir :

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}}$

eğer α bir tamsayı ise,limiti hesaplanır. Aşağıdaki ilişkiler geçerlidir, α bir tamsayı veya değil:^[10]

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)}$

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).}$

Hankel fonksiyonları için aşağıdaki integral gösterimleri kabul edilir

${\displaystyle \Re x>0}$:^[11]

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +i\pi }e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -i\pi }e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,}$

Burada kontur boyunca integrasyon gösterimi integrasyon sınırlarıdır bunun için aşağıdakiler seçilebilir: −∞ dan 0’a negatif gerçel eksen boyunca, 0’dan ±iπ ‘ye sanal eksen boyunca, ve ±iπ ‘dan +∞±iπ ‘a gerçek eksene paralel bir kontur. ^[12] Uygulamalı matematikte,Kelvin fonksiyonları Ber_ν(x) ve Bei_ν(x) sırasıyla gerçel ve sanal kısım'dır;

${\displaystyle J_{\nu }(xe^{3\pi i/4}),\,}$

burada x gerçeldir, ve J_ν(z), Birinci tür Bessel fonksiyonu yerine ν^inci 'dir. Aynı şekilde,Ker_ν(x) fonksiyonu ve Kei_ν(x) gerçel ve sanal kısımları sırasıyla, ${\displaystyle K_{\nu }(xe^{\pi i/4})\,}$, burada ${\displaystyle K_{\nu }(z)\,}$ ise ν^inci ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonu yerinedir.

Fonksiyon adı William Thomson, 1.Baron Kelvin anısınadır.

Modifiye Bessel fonksiyonları: I_α, K_α

x karmaşık değişken ve çift değer için Bessel fonksiyonudur,ve önemli özel bir durum bu tamamen sanal değişkendir. Bu durumdaki, Bessel denklemi çözümleri birinci ve ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonları olarak adlandırılır (veya zaman zaman hiperbolik Bessel fonksiyonları ),herhangi bir eşdeğer alternatifleri:^[13] tarafından

${\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)={\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix).}$

Burada gerçek değerler için gerçek ve pozitif değişkenleri x olarak seçilmiştir.Seri açılımı için I_α(x)'dır,böylece buna benzer J_α(x), ancak alternatif olmayan (−1)^m faktorüdür. modifiye Bessel denklemi için iki lineer bağımsız çözümleri: I_α(x) ve K_α(x) dir ^[14]

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.}$

Sıradan Bessel fonksiyonlarının aksine, gerçek bir bağımsız değişken fonksiyonları gibi osilasyonu olan değil, I_α ve K_α sırasıyla katlanarak büyüyen ve eksilen fonksiyonlardır. Normal Bessel fonksiyonu gibi J_α, fonksiyonu I_α sıfıra gider x = 0 ve α > 0 için sonludur x = 0 , α = 0 için. benzer olarak, K_α x = 0 da ıraksar .

1. tür Modifiye Bessel fonksiyonları, Iα(x), for α = 0, 1, 2, 3

2. tür Modifiye Bessel fonksiyonları, Kα(x), for α = 0, 1, 2, 3

Modifiye Bessel fonksiyonları için iki integral formülü ( ${\displaystyle \Re \{x\}>0}$ için):^[15]

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\exp(x\cos \theta )\cos(\alpha \theta )d\theta -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t-\alpha t)dt,}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t)\cosh(\alpha t)dt.}$

Modifiye Bessel fonksiyonları ${\displaystyle K_{1/3}}$ ve ${\displaystyle K_{2/3}}$ hızlı yakınsaklık için temsil edilebilir. integral ^[16]

${\displaystyle K_{1/3}(\xi )={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right]\ dx}$

${\displaystyle K_{2/3}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+x^{2}/3}}}\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right]\ dx}$

ikinci türden değiştirilmiş Bessel fonksiyonu ayrıca artık nadir isimler tarafından anılmıştır:

• Basset fonksiyonu Alfred Barnard Basset anısına
• Üçüncü tür Modifiye Bessel fonksiyonu
• Modifiye Hankel fonksiyonu^[17]
• Macdonald fonksiyonu Hector Munro Macdonald anısına
• Weber fonksiyonu^[18]
• Neumann fonksiyonu^[18]

Küresel Bessel fonksiyonları: j_n, y_n

Spherical Bessel functions of 1st kind, j_n(x), for n = 0, 1, 2

Spherical Bessel functions of 2nd kind, y_n(x), for n = 0, 1, 2

Helmholtz denklemi'ni değişkenlere ayırma ile küresel koordinatlarda çözerken, radial denklem formuda vardır:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}$

Bu denklemin iki lineer bağımsız çözümüne 'küresel Bessel fonksiyonları' denir.j_n ve y_n,ve sıradan Bessel fonksiyonları ile ilişkilidir J_n veY_n by:^[19]

${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{-n-1/2}(x).}$

${\displaystyle y_{n}}$ ifadesi ${\displaystyle n_{n}}$ ifadesi gibidir veya η_n; bazı yazarlar bu fonksiyonlara 'küresel Neumann fonksiyonları' diyor.

Küresel Bessel fonksiyonları( 'Rayleigh Formülleri') olarak da yazılabilir:^[20]

${\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},}$

${\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.}$

İlk küresel Bessel fonksiyonu ${\displaystyle j_{0}(x)}$ sinc fonksiyonu (normalize edilmemiş)küresel fonksiyonlar olarak da bilinir. İlk birkaç küresel Bessel fonksiyonları:

${\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$

${\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}}$

${\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}},}$

ve

${\displaystyle y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}}$

${\displaystyle y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}}$

${\displaystyle y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}}$^[22]

${\displaystyle y_{3}\left(x\right)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.}$

Genel eşitlikler

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}(-1)^{n-i}&\left[\sin(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i}\right.\\&\left.{}-\cos(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}i{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i+1}\right],\end{aligned}}}$

(en büyük tamsayının toplamının üst sınırı az veya eşit (n +1) / 2 olarak anlaşılır); Laguerre polinomları ${\displaystyle L_{n}}$ çok terimli (bkz. Bessel polinomu)) ve diğer gösterimler kullanan kapalı bir formu ile sağlanmaktadır.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n+{\frac {1}{2}}}(x)&={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}(2x)^{n+{\frac {1}{2}}}}}\left(e^{x}\cdot L_{n}^{(-2n-1)}(-2x)-e^{-x}\cdot L_{n}^{(-2n-1)}(2x)\right)\\&={\frac {n!e^{-x}}{{\sqrt {\pi }}(2x)^{n+{\frac {1}{2}}}}}\sum _{k=2n+1}^{\infty }{k-n-1 \choose n}{\frac {(2x)^{k}}{k!}}\\&={\frac {e^{x}}{\sqrt {2\pi x}}}(-1)^{n+1}\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-2x)^{k+1}k!}{(k-n)!(k+n+1)!}}.\end{aligned}}}$

Üreteç fonksiyonu

Küresel Bessel fonksiyonlarının üreteç fonksiyonları var ^[23]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).}$

Diferensiyel bağıntılar

Aşağıda ${\displaystyle f_{n}}$ herhangi bir ${\displaystyle j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}}$ için ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$

${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z).}$^[24]

Küresel Hankel fonksiyonları: h_n

Hankel fonksiyonların küresel analogları da vardır:

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)\,}$

${\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\,}$

Aslında, buradaki yarım-tamsayı'lı Bessel fonksiyonu için kapalı formun basit ifadesidir trigonometrik fonksiyon'lar standart terimlerin yerine kullanılırsa Küresel Bessel fonksiyonu denir.özellikle negatif olmayan n tamsayısı için :

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}}$

ve burada karmaşık eşlenik ${\displaystyle h_{n}^{(2)}}$ dır the of this (gerçel kısım için ${\displaystyle x}$). Bu aşağıdaki, örnek için , that ${\displaystyle j_{0}(x)=\sin(x)/x}$ ve ${\displaystyle y_{0}(x)=-\cos(x)/x}$,ve benzeri.

Küresel Hankel fonksiyonları küresel dalga yayılımı ile ilgili problemlerde görülür, for example in elektromanyetik alana ilişkin çok kutuplu açılım.

Riccati–Bessel fonksiyonu: S_n, C_n, ξ_n, ζ_n

Riccati–Bessel fonksiyonları küresel Bessel fonksiyonlarından sadece biraz farklı:

${\displaystyle S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,J_{n+1/2}(x)}$

${\displaystyle C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\pi x/2}}\,Y_{n+1/2}(x)}$

${\displaystyle \xi _{n}(x)=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,H_{n+1/2}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)}$

${\displaystyle \zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x).}$

Bu diferansiyel denklem uygundur:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}$

Bu diferansiyel denklem, ve nde, bir küre tarafından yayılan elektromanyetik dalgalar sorununda ,Riccati–Bessel çözümleri olarak ortaya çıkar Mie saçılımı'olarak bilinen çözümleri içeren baskı Mie (1908) anısınadır. Bakınız Du (2004)son gelişmeler ve referanslar için ^[25].

Asimptotik form

Bessel fonksiyonunun negatif olmayan α için aşağıda asimptotik formu vardır.Küçük bağımsız değişkenler için ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$,bir elde:^[26]

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\text{if }}\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}}$

burada ${\displaystyle \gamma }$ Euler–Mascheroni sabiti (0.5772...)dir ve ${\displaystyle \Gamma }$ ifadesi gama fonksiyonu'dur. büyük bağımsız değişkenler ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$,bu olur^[26]

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

(α=1/2 için Bu formüller hassas olarak doğrudur; bakınız yukarda küresel Bessel fonksiyonu.)Bessel fonksiyonu'nun diğer tipinin Asimptotik formu aşağıda doğrudan ileri doğru yukardaki ilişkiden.örneğin,büyük ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$ için modifiye Bessel fonksiyonu alınır:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\approx {\frac {e^{x}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}-{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right),}$^[27]

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right).}$^[28]

Benzer şekilde, ${\displaystyle \alpha =1/2}$ olduğunda son ifadeler hassas olarak doğrudur .

Küçük bağımsız değişkenleri için ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ alındığında:

${\displaystyle I_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}-\ln(x/2)-\gamma &{\text{ise }}\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{ise }}\alpha >0.\end{cases}}}$

Çarpım teoremi

Bessel fonksiyonlarına uygun bir çarpım teoremi

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)}$

burada ${\displaystyle \lambda }$ ve ${\displaystyle \nu }$ rastgele karmaşık sayılar olarak alınabilir.benzer bir formu için şu verilebilir${\displaystyle Y_{\nu }(z)}$ ve benzeri^{[29] [30]}

Bourget hipotezi

Başlangıçta Besselin kendisi negatif olmayan n tamsayıları için, J_n(x) = 0 denkleminin x çözümleri sayısının sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı.^[31] J_n(x) fonksiyonları aynı grafik üzerine çizildiği zaman,x = 0 'sıfır hariç farklı n değerleri için denk gibi görünüyor.Bessel fonksiyonlarının Bourget hipotezi olarak bilinen bu fenomenini inceleyip gösteren ondokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisinin ismine atfedilmiştir Özellikle J_n(x) ve J_n+m(x) fonksiyonları, n ≥ 0 ve m ≥ 1 gibi herhangi bir tamsayı durumu dışında x = 0 hariç başka hiçbir ortak sıfır olmadığını belirtiyor.Hipotez 1929 yılında Carl Ludwig Siegel tarafından kanıtlandı.Watson, pp. 484–5</ref>

Seçilmiş eşitlikler

^[32]

• ${\displaystyle I_{-1/2}\left(z\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cosh(z);}$
• ${\displaystyle I_{1/2}\left(z\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z);}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z);}$
• ${\displaystyle J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(\lambda z)=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left((\lambda ^{2}-1){\frac {z}{2}}\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z);}$
• ${\displaystyle I_{\nu }(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2}),\quad J_{\nu }(z_{1}\pm z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{\nu \mp k}(z_{1})J_{k}(z_{2});}$
• ${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z));}$
• ${\displaystyle J_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z))\quad (\nu \neq 0),\quad J_{0}'(z)=-J_{1}(z),\quad I_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z));}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{\nu }=\Gamma (\nu )\cdot \sum _{k=0}I_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu )\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu +1)\cdot \sum _{k=0}{\frac {1}{k!}}\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{k}J_{\nu +k}(z).}$
• ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\mathrm {e} ^{-z}z^{-1/2},\,z>0}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Anger fonksiyonu
• Bessel–Clifford fonksiyonu
• Bessel polinomları
• Fourier–Bessel serisi
• Frekans modülasyonu
• Hahn–Exton q-Bessel fonksiyonu
• Hankel dönüşümü
• Jackson q-Bessel fonksiyonu
• Jacobi–Anger açılımı
• Kelvin fonksiyonu
• Lommel fonksiyonu
• Lommel polinomları
• Neumann polinomları
• Yayıcı
• Struve fonksiyonu
• Dairesel davul titreşimleri
• Wright genelleştirilmiş Bessel fonksiyonu

Notlar

1. Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.
2. Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5.
3. Watson, p. 176
4. http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/math/BVtypset/node122.html
5. http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html
6. Arfken & Weber, exercise 11.1.17.
7. Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.
8. Watson, p. 178.
9. Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.
10. Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6.
11. Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25.
12. Watson, p. 178
13. Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
14. Abramowitz ve Stegun, p. 374, 9.6.1.
15. Watson, p. 181.
16. M.Kh.Khokonov. Sabit fotonun Emisyon Enerji Kaybı ardışık Süreçleri, JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 (2004). Derived from formulas sourced to I. S. Gradshteĭn and I. M. Ryzhik, İntegraller, Seriler ve Ürünleri Tablosu (Fizmatgiz, Moscow, 1963; Academic, New York, 1980).
17. Referred to as such in: Teichroew, D. The Mixture of Normal Distributions with Different Variances, The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 28, No. 2 (Jun., 1957), pp. 510–512
18. http://www.mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap4.pdf
19. Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1.
20. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26;
21. Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11.
22. Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12;
23. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39.
24. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23.
25. Hong Du, "Mie-saçılma hesabı," Applied Optics 43 (9), 1951–1956 (2004)
26. Arfken & Weber.
27. Abramowitz and Stegun, p. 377, 9.7.1;
28. Abramowitz and Stegun, p. 378, 9.7.2;
29. Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.74.
30. C. Truesdell, "On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp.752–757.
31. F. Bessel, Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, Berlin Abhandlungen (1824), article 14.
32. See, for example, Lide DR. CRC handbook of chemistry and physics: a ready-reference book of chemical CRC Press, 2004, ISBN 0-8493-0485-7, p. A-95

Kaynaklar

• Şablon:Abramowitz Stegun ref2
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
• Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.
• Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.
• Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.
• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
• Şablon:Dlmf
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.5. Bessel Functions of Integer Order", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd bas.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=274 
• B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions.
• N. M. Temme, Special Functions. An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996. ISBN 0-471-11313-1. Chapter 9 deals with Bessel functions.
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.

Dış bağlantılar

• Lizorkin, P.I. (2001), "Bessel functions", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/b/b015840.htm 
• Karmazina, L.N.; Prudnikov, A.P. (2001), "Cylinder function", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/c/c027610.htm 
• Rozov, =N.Kh. (2001), "Bessel equation", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/B/b015830.htm 
• Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.
• Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind
• Bessel functions J_ν, Y_ν, I_ν and K_ν in Librow Function handbook.